Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(X+1)² , прямыми x=-2 и x=1 и осью Ох б) графиком функции y= 4/x x>0 b и параболой y=-x²+4x+1

Answer 1

Ответ:Ответ: 1   S=3    2. S=4×(3-ln4) =6.45

Пошаговое объяснение: фото решения загрузить не могу выдает ошибку

Первый график парабола ветви направлены вверх вершина в точке О(-1,0) и две прямые х=-2; х=1значит плошадь

Интеграл (x+1)^2dx границы интегрирования от -2 до 1

Берем этот интеграл (делаем замену х+1=у

dy=dx  получаем интеграл у^2dy первообразная (y^3)/3 возвращаемся к замене (х+1)^3/3 подставляем границы интегрирования (1+1)^3/3-(-2+1)^3/3=8/3+1/3 =9/3=3

Вторая задача это парабола ветви направлены вниз вершина в точке О(2,5) и гипербола положительная ветвь т.к х>0

Находим точки пересечения параболы и гиперболы

-х^2+4х+1=4/х;

-х^2+4х+1-4/х=0; приведем все к знаменателю х.

(-х^3+4х^2+х-4)/х=0;  х не равен нулю

Решаем уравнение

-х^3+4х^2+х-4=0;

-х^2(х-4)+х-4=0;

(х-4)(-х^2+1)=0;

х-4=0; -х^2+1=0;

х1=4; х2=1 (х=-1 не рассматриваем)

Чтобы найти площадь нам надо взять разность интегралов  (-х^2+4х+1)dx -4/xdx границы интегрирования от 1 до 4

После взятия первообразной получим

S= -(x^3)/3+4(x^2)/2+x-4×lnx подставим границы интегрирования

-64/3+1/3+32-2+3-4×ln4+4×ln1=12-4×ln4=4×(3-ln4)=6.45

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте посчитаем площадь фигур, ограниченных данными функциями и линиями.

а) Площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x+1)², прямыми x=-2 и x=1, и осью Ox:

Для начала нарисуем график параболы y=(x+1)², а также прямых x=-2 и x=1:

Парабола y=(x+1)²: y = (x+1)² = x² + 2x + 1

Прямые x=-2 и x=1: x=-2 - это вертикальная линия, проходящая через x=-2 по оси x. x=1 - это также вертикальная линия, проходящая через x=1 по оси x.

Теперь посмотрим на график функций:

(Вставка графика)

Фигура, ограниченная параболой и прямыми, выглядит как следующий треугольник:

(Вставка фигуры)

Теперь вычислим площадь этого треугольника. Основание треугольника - это расстояние между x-координатами точек пересечения параболы и прямых. Точки пересечения можно найти, решив систему уравнений:

1. Для точки пересечения с x=-2: y = (x+1)² y = (-2+1)² = 1 Точка пересечения: (-2, 1)

2. Для точки пересечения с x=1: y = (x+1)² y = (1+1)² = 4 Точка пересечения: (1, 4)

Теперь вычислим длину основания треугольника: Основание = |1 - (-2)| = 3

Теперь вычислим высоту треугольника - это расстояние между x-координатой вершины параболы и осью Ox. Вершина параболы имеет x-координату -b/(2a), где уравнение параболы имеет форму y=ax²+bx+c. В данном случае a=1, b=2, c=1:

x-координата вершины = -2/(2*1) = -1

Теперь вычислим высоту: Высота = |-1 - 0| = 1

Теперь, когда у нас есть длина основания и высота треугольника, мы можем вычислить его площадь:

Площадь = (1/2) * (Основание) * (Высота) Площадь = (1/2) * 3 * 1 Площадь = 1.5

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x+1)², прямыми x=-2 и x=1, и осью Ox, равна 1.5 квадратных единиц.

б) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=4/x при x>0 и параболой y=-x²+4x+1:

Для начала нарисуем график функции y=4/x и параболы y=-x²+4x+1:

График функции y=4/x: (Вставка графика)

Парабола y=-x²+4x+1: (Вставка графика)

Фигура, ограниченная этими графиками, будет выглядеть как область между графиками, ограниченная осью x.

Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно найти точки пересечения двух графиков. Найдем эти точки, решив уравнение:

4/x = -x² + 4x + 1

Уравнение надо решить численно, так как здесь нет явного аналитического решения.

Теперь, когда мы нашли точки пересечения графиков, мы можем вычислить площадь фигуры, которая ограничена этими графиками и осью x, интегрируя выражение y=4/x минус выражение y=-x²+4x+1 от x1 до x2:

Площадь = ∫(4/x - (-x²+4x+1)) dx от x1 до x2

Но так как это требует численных расчетов и у нас нет конкретных значений точек пересечения, я не могу дать точный ответ на площадь данной фигуры без численных данных.