Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y=(X-1)² , прямыми x+1 и осью Ох б) графиком функции y= 4/x x>0 и параболой y=-x²+4x+1

Answer 1

Ответ:

=============================================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из данных фигур и найдем их площади.

а) Фигура, ограниченная параболой y=(x-1)², прямыми x+1 и осью Ox:

Для начала давайте нарисуем графики всех данных функций, чтобы лучше визуализировать фигуру:

1. График параболы y=(x-1)²: Заметим, что это парабола с вершиной в точке (1, 0), которая открывается вверх.

2. График прямой x+1: Это прямая с наклоном 45 градусов и пересечением с осью y в точке (0, 1).

Теперь определим точки пересечения функций:

1. Парабола и прямая: (x-1)² = x+1 x² - 2x + 1 = x + 1 x² - 3x = 0 x(x - 3) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 3.

Теперь найдем площадь фигуры:

Площадь фигуры можно разделить на две части: площадь между параболой и прямой, а также площадь между параболой и осью Ox.

1. Площадь между параболой и прямой: Для этой части, интеграл можно записать следующим образом:

∫[0 to 3] [(x-1)² - (x+1)] dx

Вычислим данный интеграл:

∫[0 to 3] [(x-1)² - (x+1)] dx = ∫[0 to 3] (x² - 2x + 1 - x - 1) dx = ∫[0 to 3] (x² - 3x) dx = [x³/3 - 3x²/2] |[0 to 3] = [(3³/3 - 3(3)²/2) - (0³/3 - 3(0)²/2)] = [9 - 9/2] = 9/2

2. Площадь между параболой и осью Ox: Для этой части, интеграл можно записать следующим образом:

∫[0 to 3] (x-1)² dx

Вычислим данный интеграл:

∫[0 to 3] (x-1)² dx = ∫[0 to 3] (x² - 2x + 1) dx = [x³/3 - x² + x] |[0 to 3] = [(3³/3 - 3² + 3) - (0³/3 - 0² + 0)] = [9 - 9 + 3] = 3

Теперь сложим обе площади:

Общая площадь фигуры = 9/2 + 3 = 9/2 + 6/2 = 15/2 = 7.5.

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y=(x-1)², прямыми x+1 и осью Ох, равна 7.5.

б) Фигура, ограниченная графиком функции y=4/x (x>0) и параболой y=-x²+4x+1:

Для начала, нарисуем графики данных функций:

1. График функции y=4/x (x>0): Это гипербола, которая ограничена первым квадрантом.

2. График параболы y=-x²+4x+1: Здесь имеем параболу с вершиной в точке (2, 5), которая открывается вниз.

Теперь найдем точки пересечения функций:

1. Гипербола и парабола: 4/x = -x² + 4x + 1

Для удобства, умножим уравнение на x: 4 = -x³ + 4x² + x

Перепишем уравнение в стандартной форме: x³ - 4x² - x + 4 = 0

Решим уравнение численно (например, с помощью численных методов, таких как метод Ньютона), чтобы найти приближенные значения корней:

x ≈ 0.6364 x ≈ 3.4086 x ≈ 2.9550

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими функциями, нам нужно найти интеграл от разности данных функций на промежутках между корнями:

Площадь фигуры = ∫[0.6364 to 3.4086] (4/x - (-x² + 4x + 1)) dx + ∫[3.4086 to 2.9550] (4/x - (-x² + 4x + 1)) dx

Заметим, что второе слагаемое будет отрицательным, так как парабола ниже оси Ox в этом интервале.

Теперь вычислим интегралы:

∫[0.6364 to 3.4086] (4/x + x² - 4x - 1) dx = [4ln|x| + (x³/3) - 2x² - x] |[0.6364 to 3.4086] ≈ [4ln(3.4086) + (3.4086³/3) - 2(3.4086