Question

Вычислить производную функции y=Sinx/3x. y=cos2x/3x

Answer 1

y'=[ cosx * 3x- sinx*3 ] /9x^2 = [ 3xcosx-3sinx] /9x^2 = [ xcosx-sinx ] / 3x^2

y'= [ -2sin2x *3x - cos2x*3 ] / 9x^2 = [ -6xsin2x-3cos2x ] /9x^2=

=[ -2xsin2x-cos2x]/3x^3

Answer 2

Для вычисления производной функции $y = \frac{\cos(2x)}{3x}$ по $x$, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования частного. Давайте выполним этот шаг пошагово:

1. Начнем с выражения $y = \frac{\cos(2x)}{3x}$.

2. Применим правило дифференцирования частного, которое гласит: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \cos(2x)$ и $v = 3x$.

3. Вычислим производные $u'$ и $v'$:

   • $u' = -\sin(2x) \cdot 2$ (производная $\cos(2x)$).
   • $v' = 3$ (производная $3x$).

4. Подставим значения $u'$ и $v'$ в формулу для дифференцирования частного:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(2x)}{3x}\right) = \frac{(-\sin(2x) \cdot 2 \cdot 3x - \cos(2x) \cdot 3)}{(3x)^2}$$

5. Упростим числитель и знаменатель:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(2x)}{3x}\right) = \frac{-6x\sin(2x) - 3\cos(2x)}{9x^2}$$

6. Теперь можно упростить эту производную, деля числитель и знаменатель на 3:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(2x)}{3x}\right) = \frac{-2x\sin(2x) - \cos(2x)}{3x^2}$$

Итак, производная функции $y = \frac{\cos(2x)}{3x}$ равна:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x\sin(2x) - \cos(2x)}{3x^2}$$