Question

по определению n!= 1*2*3*...*n. докажите, что выражение 1008!*1009!*2017!*2018! не является квадратом натурального числа.

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото

Answer 2

Давайте докажем, что выражение $1008! \cdot 1009! \cdot 2017! \cdot 2018!$ не является квадратом натурального числа.

Для этого воспользуемся следующими фактами:

1. Факториал $n!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.
2. Если $n$ - натуральное число, то $n!$ всегда делится на $n$.

Теперь рассмотрим каждый из факториалов в данном выражении:

1. $1008!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 1008.
2. $1009!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 1009.

Из факта 2 мы знаем, что $1008!$ делится на 1008, и $1009!$ делится на 1009. Теперь рассмотрим $2017!$ и $2018!$:

3. $2017!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 2017.
4. $2018!$ - это произведение всех натуральных чисел от 1 до 2018.

Аналогично, из факта 2 мы знаем, что $2017!$ делится на 2017, и $2018!$ делится на 2018.

Теперь выразим данное выражение в виде произведения квадратов натуральных чисел:

$$1008! \cdot 1009! \cdot 2017! \cdot 2018! = (1008 \cdot 2017)!(1009 \cdot 2018)!$$

Обратите внимание, что числа 1008, 2017, 1009 и 2018 - это все различные числа, и они не могут быть квадратами других натуральных чисел. Следовательно, $1008! \cdot 1009! \cdot 2017! \cdot 2018!$ не является квадратом натурального числа, так как не существует натуральных чисел $a$ и $b$, таких что:

$$(1008 \cdot 2017)! \cdot (1009 \cdot 2018)! = a^2 \cdot b^2$$

Поэтому данное выражение не является квадратом натурального числа.