Question

Хелп 98 БАЛОВ ЗА ОТВЕТ Задача 4. На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школь-никами. Известно, что• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;• всего в первом ряду сидят 9 девочек.Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответобоснуйте.)Задача 5. По определению n! = 1 × 2 × 3 × .... × n. Докажите, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото.

Answer 2

Задача 4: Давайте рассмотрим возможные расположения девочек и мальчиков в первом ряду. Обозначим девочки буквой "Д" и мальчиков буквой "М". Учитывая, что никакие две девочки не сидят рядом, а рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик, у нас есть следующая последовательность:

М _ М _ М _ М _ М _ М _ М _ М _ М

Здесь "М" представляет мальчиков, а "_" - дополнительные места, которые будут заняты мальчиками. Мы знаем, что всего в первом ряду сидят 9 девочек. Поскольку всего в ряду 25 мест, то дополнительных мест будет 16 (25 - 9 = 16).

Теперь давайте предположим, что на центральном месте сидит мальчик:

М _ М _ М _ М _ М _ М _ М _ М _ М

Здесь "М" на центральном месте представляет мальчика. Всего у нас 8 мальчиков и 16 дополнительных мест для мальчиков, чтобы удовлетворить условиям задачи.

Однако, если у нас есть мальчик на центральном месте, то мы можем заметить, что справа и слева от него образуется две группы из 8 мальчиков (по 4 мальчика в каждой группе). И в каждой из этих групп у нас нет места для дополнительных мальчиков, которые должны были бы сидеть рядом с каждым мальчиком. Таким образом, условия задачи нарушаются.

Поэтому на центральном месте ряду не может сидеть мальчик.

Задача 5: Докажем, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.

Для этого рассмотрим количество простых чисел в разложении каждого из чисел 1008!, 1009!, 2017! и 2018!. Заметим, что в каждом из этих чисел содержится некоторое количество простых чисел и никакие два из них не имеют общих простых делителей.

Теперь обратим внимание, что в разложении произведения этих чисел мы получим сумму показателей степеней всех простых чисел. Для квадрата натурального числа, все показатели степеней простых чисел должны быть четными числами.

Предположим, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! является квадратом натурального числа. Тогда все показатели степеней простых чисел в его разложении должны быть четными.

Однако, если мы рассмотрим простое число p > 2018 (например, p = 2027), то его показатель степени в разложении произведения 2017! × 2018! будет равен 0, так как 2017! не содержит множителей p. Значит, показатель степени простого числа p в выражении 1008! × 1009! × 2017! × 2018! будет нечетным, что противоречит предположению о том, что выражение является квадратом натурального числа.

Таким образом, выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.