Question

Хелп Задача 4. На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школь-никами. Известно, что• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;• всего в первом ряду сидят 9 девочек.Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответобоснуйте.)Задача 5. По определению n! = 1 × 2 × 3 × .... × n. Докажите, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото

Answer 2

Задача 4:

Пусть центральное место в ряду имеет номер k. Рассмотрим две ситуации:

1. Если на центральном месте сидит девочка, то согласно условию "никакие две девочки не сидят рядом", на местах k-1 и k+1 должны сидеть мальчики. В этом случае нарушается условие "рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик", так как мальчик сидит только на одном из мест k-1 или k+1.

2. Если на центральном месте сидит мальчик, то на месте k-1 должен также сидеть мальчик, чтобы соблюдалось условие "рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик". Тогда нарушается условие "никакие две девочки не сидят рядом", так как между двумя мальчиками находится одно место, и на этом месте не может сидеть девочка.

Таким образом, невозможно, чтобы на центральном месте в ряду сидел мальчик.

Ответ: Нет, не могло так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик.

Задача 5:

Докажем, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.

Рассмотрим простые числа в разложении данных факториалов:

• В 1008! есть множитель 1009 (простое число).
• В 2017! есть множитель 2017 (простое число).

Выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! содержит два различных простых множителя, 1009 и 2017, в нечётных степенях (1 и 1 соответственно). Таким образом, это число не может быть квадратом натурального числа.

Доказательство завершено.

Ответ: Выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.