Question

Найдите остаток от деления числа 2017 * 2017 * 2017 ... 2017 * (2017 в степени 2017) на 2, на 3, на 2016 и на 1995. Прошу с объяснениями. Учитель говорил что это выражение (2017 * 2017 * ...) такое огромное, что мы его никогда не решим. 5 класс.

Answer 1

3^2016 = (3^2)^1008 = 9^1008 = (9^2)^504 = 81^504 = (81^2)^252 = 6561^252 = (6561^2)^126 = 43046721^126 = ...1 заканчивается на единицу, и в этом случае, у всех кратных числах остаток - 4, поэтому остаток будет 4.

Answer 2

Решение математической задачи

Давайте начнем с того, что выразим данное число в более компактной форме. Поскольку число 2017 умножается само на себя многократно, мы можем записать его в степени. Таким образом, данное число можно представить как 2017 в степени 2017.

Остаток от деления на 2

Для начала найдем остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 2. Остаток от деления числа на 2 определяется его четностью. Если число четное, то остаток от деления на 2 будет равен 0, в противном случае - 1.

Давайте посмотрим, какой остаток от деления на 2 у числа 2017 в степени 2017. Остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 2 равен 1 [[1]].

Остаток от деления на 3

Теперь рассмотрим остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 3. Для этого нам понадобится использовать теорему Эйлера.

Теорема Эйлера утверждает, что если \(a\) и \(n\) взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), то \(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\), где \(\phi(n)\) - функция Эйлера, определяющая количество чисел, взаимно простых с \(n\) и меньших \(n\).

Применим теорему Эйлера для нахождения остатка от деления числа 2017 в степени 2017 на 3. Остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 3 равен 1 [[2]].

Остаток от деления на 2016

Теперь рассмотрим остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 2016. Для этого воспользуемся тем, что \(2017 \equiv 1 \pmod{2016}\).

Таким образом, \(2017^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{2016}\).

Следовательно, остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 2016 равен 1.

Остаток от деления на 1995

Наконец, рассмотрим остаток от деления числа 2017 в степени 2017 на 1995. Для этого также воспользуемся тем, что \(2017 \equiv 22 \pmod{1995}\).

Таким образом, \(2017^n \equiv 22^n \pmod{1995}\).

Для нахождения остатка от деления на 1995 потребуется более сложные вычисления, которые могут быть выполнены с использованием компьютерных программ или калькуляторов.

Вывод

Таким образом, мы нашли остатки от деления числа 2017 в степени 2017 на 2, 3 и 2016. Для нахождения остатка от деления на 1995 потребуются дополнительные вычисления, которые могут быть выполнены с использованием специализированных инструментов.