Question

E^xy=cos y/x. найти y'

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы найти производную y' функции E^(xy) = cos(y/x) по x, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования экспоненты.

Давайте начнем с исходного уравнения:

E^(xy) = cos(y/x)

Дифференцируем обе стороны по x:

d/dx [E^(xy)] = d/dx [cos(y/x)]

Теперь применим цепное правило к левой стороне (E^(xy)):

d/dx [E^(xy)] = d/dx [E^(xy)] * dy/dx

Используем правило дифференцирования экспоненты:

d/dx [E^(xy)] = E^(xy) * (x * dy/dx + y)

Теперь дифференцируем правую сторону. Для этого нам понадобится правило дифференцирования cos(u), где u = y/x:

d/dx [cos(y/x)] = -sin(y/x) * (d/dx [y/x])

Используем правило дифференцирования (d/dx) для y/x:

d/dx [y/x] = (1/x) * dy/dx - (y/x^2)

Теперь мы можем записать наше уравнение с производными:

E^(xy) * (x * dy/dx + y) = -sin(y/x) * [(1/x) * dy/dx - (y/x^2)]

Теперь можно решить это уравнение относительно dy/dx, чтобы найти производную:

x * E^(xy) * dy/dx + y * E^(xy) = -sin(y/x) * [(1/x) * dy/dx - (y/x^2)]

x * E^(xy) * dy/dx + y * E^(xy) = -sin(y/x) * (1/x) * dy/dx + sin(y/x) * (y/x^2)

Теперь выразим dy/dx:

x * E^(xy) * dy/dx + sin(y/x) * (1/x) * dy/dx = y * E^(xy) - sin(y/x) * (y/x^2)

dy/dx * (x * E^(xy) + sin(y/x) * (1/x)) = y * E^(xy) - sin(y/x) * (y/x^2)

dy/dx = (y * E^(xy) - sin(y/x) * (y/x^2)) / (x * E^(xy) + sin(y/x) * (1/x))

Это и есть производная y' исходной функции E^(xy) = cos(y/x) по x.