Question

Найдите интеграл ∫(x-x^-2)dx

Answer 1

Решение:

$\displaystyle \int\limits {x-{x}^{-2}} \, dx =\int\limits {x-\dfrac{1}{{x}^{2}}} \, dx = \int\limits {x} \, dx -\int\limits {\dfrac{1}{{x}^{2}}} \, dx =\dfrac{{x}^{2}}{2}-\Big(-\dfrac{1}{(2-1)\cdot {x}^{2-1}}\Big)= \\ \\ =\dfrac{{x}^{2}}{2}-\Big(-\dfrac{1}{1\cdot x}\Big)=\dfrac{{x}^{2}}{2}-\Big(-\dfrac{1}{x}\Big)=\boxed{\dfrac{{x}^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}+C}$

Использованные формулы:

$\displaystyle {x}^{-n}=\dfrac{1}{{x}^{n}} \\ \\ \int\limits {f(x)\pm g(x)} \, dx =\int\limits {f(x)} \, dx \pm \int\limits {g(x)} \, dx \\ \\ \int\limits {x} \, dx =\dfrac{{x}^{2}}{2} \\ \\ \int\limits {\dfrac{1}{{x}^{n}} \, dx =-\dfrac{1}{(n-1)}\cdot {x}^{n-1}}, \: npu \: n\neq 1$

Ответ: $\Large{\boxed{\dfrac{{x}^{2}}{2}+\dfrac{1}{x}+C}}$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(x - x^(-2))dx, разберемся с каждым слагаемым по отдельности:

1. ∫x dx = (1/2)x^2 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

2. ∫x^(-2) dx = ∫(1/x^2) dx = -x^(-1) + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь объединим оба интеграла:

∫(x - x^(-2))dx = (1/2)x^2 + C1 - x^(-1) + C2

Можно объединить постоянные C1 и C2 в одну произвольную постоянную C:

∫(x - x^(-2))dx = (1/2)x^2 - x^(-1) + C