Question

Решите уравнение: cos^2 х – 1 = sin^2 х. подробно пожалуйста...

Answer 1

${cos}^{2} x - 1 = {sin}^{2} x \\ {cos}^{2} x - {sin}^{2} x = 1$

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1$

Отсюда получаем систему уравнений:

${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1 \\ {cos}^{2} x - {sin}^{2} x = 1$

Сложим эти уравнения:

$2 {cos}^{2} x = 2 \\ {cos}^{2} x = 1$

Решений два.

Первое:

$cosx = - 1 \\ x = \pi + 2\pi \: k$

Второе:

$cosx = 1 \\ x = 0 + 2\pi \: k = 2\pi \: k$

Синус при обоих решениях равен 0, поэтому наша система уравнений выполняется. Если совместить полученные решения, имеем:

$x = \pi \: k$

где k = 0, 1, 2, ...

Ответ: х = πk, k принадлежит множеству натуральных чисел.

Answer 2

Для решения уравнения $\cos^2(x) - 1 = \sin^2(x)$ давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для синуса и косинуса. Вот эти тождества:

1. $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ (основное тригонометрическое тождество).

Мы можем использовать это основное тождество, чтобы решить данное уравнение:

$\cos^2(x) - 1 = \sin^2(x)$

Теперь выразим $\cos^2(x)$ в терминах $\sin^2(x)$, используя основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$

Подставим это значение в исходное уравнение:

$1 - \sin^2(x) - 1 = \sin^2(x)$

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной $\sin^2(x)$:

$-\sin^2(x) = \sin^2(x)$

Чтобы решить это уравнение, давайте прибавим $\sin^2(x)$ к обеим сторонам:

$-\sin^2(x) + \sin^2(x) = 0$

Сократим $-\sin^2(x) + \sin^2(x)$ до нуля:

$0 = 0$

Это уравнение истинно для любого значения $\sin^2(x)$. То есть, любое значение $\sin^2(x)$ является решением данного уравнения.

Теперь, чтобы найти решения в исходных терминах, вы можете взять квадратный корень обеих сторон:

$\sin(x) = \pm \sqrt{\sin^2(x)}$

Таким образом, решениями данного уравнения будут значения $x$, при которых $\sin(x) = 0$ или $\sin(x)$ может быть любым числом, так как $\pm \sqrt{\sin^2(x)}$ всегда равно модулю $\sin(x)$.

Поэтому решениями данного уравнения будут:

1. $x = 0 + k\pi$, где $k$ - любое целое число (когда $\sin(x) = 0$).
2. $x$ может быть любым числом (когда $\sin(x)$ может быть любым числом).