Question

Найдите число корней уравнения cos(x-π)-cos^2 4x = sin^2 4x- sin(x/2+3π/2) принадлежащих отрезку -π; 4π/3

Answer 1

Ответ:

$cos(x-\pi )-cos^24x=sin^24x-sin\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi }{2}\Big)\\\\-cosx-(cos^24x+sin^24x)+sin\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi }{2}\Big)=0\\\\-cosx-1-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-(1+cosx)-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-2cos^2\dfrac{x}{2}-cos\dfrac{x}{2}=0\\\\-cos\dfrac{x}{2}\cdot (2cos\dfrac{x}{2}+1)=0\\\\a)\ \ cos\dfrac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ \ x=\pi +2\pi n\ ,\ n\in Z$

$b)\ \ cos\dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi k\ \ ,\ \ x=\pm \dfrac{4\pi}{3}+4\pi k\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ x\in \Big[-\pi \, ;\, \dfrac{4\pi}{3}\, \Big]:\ x_1=\pi \ ,\ x_2=\pi \ ,\ x_3=\dfrac{4\pi}{3}\ .$

Ответ:  3 корня.

Answer 2

cos(x-π)-cos²4x = sin²4x- sin(x/2+3π/2);

-cosx-cos²4x-sin²4x+sin(x/2+3π/2)=0;

-cosx-1-cos(x/2)=0;

-2cos²x/2-cosx/2=0;

-cosx/2*(2cosx/2+1)=0;

1) cosx/2=0⇒x/2=π/2+πn; n∈Z; x=π+2πn; n∈Z;

2)cosx/2=-1/2;  x/2=±2/3π+2πn; n∈Z; x=±4π/3+4πn; n∈Z;

Найдем корни, принадлежащие [-π;4π/3]

1) x=π+2πn; n∈Z;   -π≤π+2πn≤4π/3;-1≤1+2n≤4/3;-2≤2n≤1/3;-1≤n≤1/6;

n=-1;  x=π-2π=-π;  n=0;  x= π

2) x=±4π/3+4πn; n∈Z; а) x=4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤4/3+4n≤4/3; n∈Z;   -7/3≤4n≤0;  -7/12≤n≤0; n=0; х=4π/3;

б) x=-4π/3+4πn; n∈Z;

-π≤-4π/3+4πn≤4π/3;   -1≤-4/3+4n ≤4/3; n∈Z;   1/3≤4n≤8/3;  1/12≤n≤2/3;нет корней.

Всего ТРИ корня.

Answer 3

Чтобы найти число корней уравнения на заданном интервале, давайте рассмотрим уравнение и попробуем упростить его:

cos(x - π) - cos^2(4x) = sin^2(4x) - sin(x/2 + 3π/2)

Сначала учтем, что:

cos(x - π) = -cos(x)

Теперь у нас есть:

-cos(x) - cos^2(4x) = sin^2(4x) - sin(x/2 + 3π/2)

Теперь преобразуем уравнение дальше:

cos(x) + cos^2(4x) + sin^2(4x) - sin(x/2 + 3π/2) = 0

cos(x) + 1 - sin(x/2 + 3π/2) = 0

cos(x) - sin(x/2 + 3π/2) = -1

Теперь мы видим, что у нас есть сумма косинуса и синуса, и мы можем использовать тригонометрическую идентичность:

cos(a) - sin(b) = sqrt(2) * sin(π/4 - a - b)

Таким образом, у нас есть:

sqrt(2) * sin(π/4 - x - x/2 - 3π/2) = -1

sqrt(2) * sin(π/4 - (3x/2 + 3π/2)) = -1

Теперь мы хотим найти значения x, удовлетворяющие этому уравнению на интервале -π ≤ x ≤ 4π/3.

Сначала рассмотрим синус. Для того чтобы sin(θ) = -1, значение аргумента (θ) должно быть -π/2 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, π/4 - (3x/2 + 3π/2) = -π/2 + 2πn

Теперь решим это уравнение для x:

π/4 - (3x/2 + 3π/2) = -π/2 + 2πn

3x/2 + 3π/2 = π/4 + π/2 - 2πn

3x/2 = -π/4 - π/2 + 2πn - 3π/2

3x = -π/2 - π + 4πn - 9π/2

3x = -5π/2 + 4πn

x = (-5π/2 + 4πn)/3

Теперь проверим, сколько целых значений x удовлетворяют этому уравнению на интервале -π ≤ x ≤ 4π/3:

x = (-5π/2 + 4πn)/3

-π ≤ x ≤ 4π/3

-π ≤ (-5π/2 + 4πn)/3 ≤ 4π/3

Учтем, что -π ≤ x ≤ 4π/3, поэтому:

-π ≤ (-5π/2 + 4πn)/3 ≤ 4π/3

Умножим все части неравенства на 3:

-3π ≤ -5π/2 + 4πn ≤ 4π

Теперь добавим 5π/2 к каждой части:

-3π + 5π/2 ≤ 4πn ≤ 4π + 5π/2

Упростим:

-π/2 ≤ 4πn ≤ 13π/2

Теперь разделим на 4π:

-1/8 ≤ n ≤ 13/8

n - целое число. Таким образом, n может быть -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого из этих n:

n = -1: x = (-5π/2 + 4π(-1))/3 = (-5π/2 - 4π)/3 = -13π/6 n = 0: x = (-5π/2 + 4π(0))/3 = (-5π/2)/3 = -5π/6 n = 1: x = (-5π/2 + 4π(1))/3 = (-5π/2 + 4π)/3 = π/6 n = 2: x = (-5π/2 + 4π(2))/3 = (-5π/2 + 8π)/3 = 3π/2 n = 3: x = (-5π/2 + 4π(3))/3 = (-5π/2 + 12π)/3 = 7π/6 n = 4: x = (-5π/2 + 4π(4))/3 = (-5π/2 + 16π)/3 = 5π/2 n = 5: x = (-5π/2 + 4π(5))/3 = (-5π/2 + 20π)/3 = 13π/6

Теперь мы найдем 7 различных значения x, удовлетворяющих уравнению на интервале -π ≤ x ≤ 4π/3. Следовательно, уравнение имеет 7 корней на этом интервале.