Question

1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²Доказать методом МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. ​

Answer 1

Доказать утверждение $1^{3} + 2^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + ... + n)^{2}$ методом математической индукции.

Answer 2

В скобке правой части сумма арифметической прогрессии с разностью, равной 1 и первым членом 1, ее сумма равна (1+n)*n/2, поскольку скобка справа в квадрате, то  (1 + 2 + ... + n)²= ((1+n)*n/2)²=

(1+n)²*n²/4, значит, нужно доказать, что 1³ + 2³ + ... + n³ = (1+n)²*n²/4,

1. Берем n=1 /база/, проверяем справедливость равенства.1³=2²*1²/4=1

2. Предполагаем, что для n=к равенство выполняется.

т.е. 1³ + 2³ + ... + к³ = (1+к)²*к²/4

3. Докажем, что для n= к+1 равенство выполняется. т.е., что

1³ + 2³ + ... + (к+1)³ = (1+к)²*(2+к)²/4

(1³ + 2³ + ... к³)+ (к+1)³ =(1+к)²*к²/4+ (к+1)³=(к+1)²*(к²+4к+4)/4=(1+к)²*(2+к)²/4

Доказано.

Answer 3

Для доказательства этого утверждения методом математической индукции, нам нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Покажем, что утверждение верно для n = 1.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k (предположение индукции), и докажем, что оно также верно для k + 1.

Базовый шаг (n = 1):

При n = 1 у нас есть: 1³ = (1)²

Оба выражения равны 1, поэтому базовый шаг выполняется.

Шаг индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть: 1³ + 2³ + ... + k³ = (1 + 2 + ... + k)²

Теперь мы должны доказать, что утверждение также верно для k + 1. Добавим (k + 1)³ к обеим сторонам уравнения:

1³ + 2³ + ... + k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)³

Теперь мы можем использовать наше предположение индукции: 1³ + 2³ + ... + k³ = (1 + 2 + ... + k)²

Подставляем это в наше уравнение:

(1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)³ = (1 + 2 + ... + k)² + (k + 1)³

Теперь мы видим, что обе стороны уравнения равны между собой. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно также верно для k + 1.

Следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.