Question

Доказать методом математической индукции:p+(p+1)+(p+2)+...+(p+n)=((2p+n)(n+1))/2

Answer 1

Проверяем, что для р=1 равенство истинно.
Пусть для n=к равенство тоже истинно, т.е.
p+(p+1)+(p+2)+...+(p+к)=((2p+к)(к+1))/2

Запишем для n = к+1:
p+(p+1)+(p+2)+...+(p+к) + (р+к+1)= ((2p+к)(к+1))/2 + (р+к+1) = 
= ((2p+к)(к+1) + 2(р+к+1)) / 2 = ((2p+к)(к+1) + 2р+2к +2))/2 = ((2p+к)(к+1) + (2р+к)+к +2))/2

= ((2p+к)(к+2) + (к +2))/2 = ((2p+к +1)(к+2))/2

Что и требовалось доказать, поскольку то, что мы получили - это то, что должно быть если подставить n=k+1 в исходное рав-во, которое требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства указанной формулы методом математической индукции, мы должны следовать двум этапам:

Шаг базы: Доказать, что формула верна для начального значения n. Шаг индукции: Показать, что если формула верна для некоторого значения n, она также верна и для n + 1.

Шаг базы: Для начального значения n = 1, доказывается: p + (p + 1) = (2p + 1) / 2 2p + 1 = 2p + 1 Видим, что формула справедлива для n = 1.

Шаг индукции: Пусть формула верна для некоторого значения k, т.е. p + (p + 1) + (p + 2) + ... + (p + k) = ((2p + k)(k + 1)) / 2

Докажем, что она верна и для n = k + 1: p + (p + 1) + (p + 2) + ... + (p + k) + (p + k + 1) = ((2p + k)(k + 1)) / 2 + (p + k + 1)

Мы можем рассмотреть правую часть последнего выражения: ((2p + k)(k + 1)) / 2 + (p + k + 1) ((2p + k)(k + 1) + 2(p + k + 1)) / 2 (2pk + 2k + 2p + k + 1) / 2 (2pk + 3k + 2p + 1) / 2 (2pk + 2p + k + k + 1) / 2 ((2p + k + 1)(k + 2))/2

Мы видим, что правая часть равна ((2p + k + 1)(k + 2))/2, что совпадает с левой частью.

Таким образом, мы доказали по методу математической индукции, что формула p + (p + 1) + (p + 2) + ... + (p + n) = ((2p + n)(n + 1))/2 верна для всех неотрицательных целых чисел n.