Question

Найдите ошибку в нижеприведённом рассуждении! Докажем, что все собаки одной и той же породы. Пусть A(n) = {любые n собак имеют одну и ту же породу}. Докажем, что A(n) справедливо для всех n методом математической индукции. Очевидно, что утверждение A(1) истинно (любая собака имеет одну породу). База индукции выполняется. Предположим, что A(k) верно (т. е. любые k собак имеют одну и ту же породу) и докажем, что тогда и A(k+1) будет верно. Рассмотрим (k+1) собаку. Выделим двумя способами группы из k собак (см. рисунок(но рисунок почему-то не дан)). Тогда часть собак попадёт в каждую из двух групп. Очевидно, что собака 1 имеет ту же породу, что и все собаки из 2 (т. к. они все находятся в группе x, состоящей из k собак); ясно также, что собака 3 имеет ту же породу, что и собаки 2, так как они все находятся в группе y из k собак. Получаем, что k+1 собак обязательно будут одной и той же породы. Утверждение доказано. P.S.: тема - математическая индукция

Answer 1

Ошибка в рассуждении в том, что из А(1) не следует А(2). Если мы будем выделять разными способами группы из 1 собаки во множестве из 2 собак (способов только два), то эти группы не будут пересекаться, а, значит, из того, что любая собака имеет одну породу не следует, что в любом множестве из двух собак все собаки будут иметь одну породу. Если же верно А(2), то А(n) будет справедливо для всех n. То есть, базой математической индукции должно быть утверждение А(2), а не А(1).