Question

Доказать утверждение методом математической индукции: (n*(2*n^2-3*n+1)) кратно 6 для всех натуральных n.

Answer 1

База индукции

При n=1

1*(2*1^2-3*1+1)=0 делится на 6 нацело (кратно 6)

 

Гипотеза индукции

Пусть при n=k утверждение верно

т.е.

k*(2*k^2-3*k+1) кратно 6.

 

Шаг индукции. Докажем, что тогда при n=k+1  утверждение тоже верно.

n*(2*n^2-3*n+1)=(k+1)*(2(k+1)^2-3*(k+1)+1)=(k+1)(2k^2+4k+2-3k-3+1)=

=(k+1)(2k^2-3k+1 + 4k-1)=(k+1)(2k^2-3k+1) +(k+1)(4k-1)=k(2k^2-3k+1)+2k^2-3k+1+4k^2-k+4k-1=k(2k^2-3k+1)+6k^2, что делится на 6 нацело, первое слагаемое по гипотезе индукции, второе так как в произведение входит множитель 6 кратный 6

 

По принципу математической индукции данное утверждение верно для любого натурального n. Доказано

Answer 2

Доказательство утверждения методом математической индукции:

Для начала, проверим базовый случай, когда n=1: Подставим n=1 в выражение (n*(2*n^2-3*n+1)): 1 * (2*1^2 - 3*1 + 1) = 1 * (2 - 3 + 1) = 1 * 0 = 0 Таким образом, при n=1 выражение равно 0, что делится на 6 без остатка.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е. (k*(2*k^2-3*k+1)) кратно 6.

Индукционный переход: Докажем, что утверждение также верно для (k+1), используя предположение индукции.

Выражение для (k+1) будет равно ((k+1)*(2*(k+1)^2-3*(k+1)+1)): ((k+1)*(2*(k+1)^2-3*(k+1)+1)) = (k+1)*(2k^2 + 4k + 2 - 3k - 3 + 1) = (k+1)*(2k^2 + k - 2) = 2k^3 + k^2 - 2k + 2k^2 + k - 2 = 2k^3 + 3k^2 - k - 2

Теперь мы видим, что выражение можно представить в виде: 2k^3 - 3k^2 + k + 1 + 6k^2 - 6k = 6k^2 - 6k + (2k^3 - 3k^2 + k + 1)

По предположению индукции, выражение (k*(2*k^2-3*k+1)) кратно 6, то есть делится на 6. Таким образом, (k+1)*(2*(k+1)^2-3*(k+1)+1) также кратно 6.

По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных чисел n.