Question

(1*2*3...*(2n-1))/(2*4*6...*2n)⩽1/√(2n+1) при n∈N. Доказать методом математической индукции

Answer 1

Проверяем для n=1
1/2<1/sqrt(3) верно.
Пусть это верно для n: аn<bn
Убедимся, что тогда это верно для n+1
аn*(2n+1)/(2n+2)<bn*sqrt((2n+1)/(2n+2))
Последнее вытекает из (2n+1)/(2n+2)<1

Answer 2

Для начала докажем базу индукции. При n=1 выражение примет вид (1)/(2) ≤ 1/√3, что верно, так как 1/2 ≤ 1/√3.

Теперь предположим, что неравенство верно для некоторого k, то есть (1*2*3...*(2k-1))/(2*4*6...*2k) ≤ 1/√(2k+1).

Докажем, что из этого следует, что неравенство верно и для k+1. Рассмотрим выражение для k+1:

(1*2*3...*(2k-1)*(2k+1))/(2*4*6...*2k*(2k+2)) = (1*2*3...*(2k-1))/(2*4*6...*2k) * (2k+1)/(2k+2) ≤ 1/√(2k+1) * (2k+1)/(2k+2)

Мы уже знаем, что (1*2*3...*(2k-1))/(2*4*6...*2k) ≤ 1/√(2k+1), поэтому достаточно доказать, что (2k+1)/(2k+2) ≤ 1/√(2k+3).

Преобразуем это неравенство: (2k+1)/(2k+2) ≤ 1/√(2k+3) ⇔ √(2k+3) ≤ (2k+2)/(2k+1)

Возведем обе части неравенства в квадрат: 2k+3 ≤ (2k+2)²/(2k+1)² ⇔ 2k+3 ≤ 4k²+8k+4/(4k²+4k+1) ⇔ 2k+3 ≤ 4k²+8k+4/(4k²+4k+1)

После упрощения получаем: 2k+3 ≤ 2k+2

Таким образом, мы доказали, что при n=k+1 неравенство также верно. Значит, оно верно для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.