Question

Найти производную функции заданной неявно: y*sin x - cos(x-y) = 0

Answer 1

Ответ:

$y \sin(x) - \cos(x - y) = 0 \\ y' \sin(x) + ( \sin(x))'\times y - ( - \sin(x - y)) \times (x - y)' = 0 \\ y' \sin(x) + y \cos(x) + \sin(x - y) \times (1 - y') = 0 \\ y ' \sin(x) + y \cos(x) + \sin(x - y) - y'\sin(x - y) = 0 \\ y'( \sin(x) - \sin(x - y)) = - y \cos(x) - \sin(x - y) \\ y '= - \frac{y \cos(x) + \sin(x - y) }{ \sin(x) - \sin(x - y) }\\ y '= \frac{y \cos(x) + \sin(x - y) }{ \sin(x - y) -\sin(x)}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции, заданной неявно, давайте сначала продифференцируем данное уравнение по x. Для этого используем правило дифференцирования сложной функции:

d/dx (y*sin(x) - cos(x-y)) = 0

Теперь давайте дифференцируем каждый член уравнения по x.

1. Дифференцирование по x члена y*sin(x) дает:

d/dx (ysin(x)) = ycos(x)

2. Дифференцирование по x члена -cos(x-y) дает:

d/dx (-cos(x-y)) = sin(x-y) * (1 - dy/dx)

Теперь объединим эти члены и приравняем к нулю:

y*cos(x) + sin(x-y) * (1 - dy/dx) = 0

Теперь выразим dy/dx, чтобы получить производную y по x:

dy/dx = (y*cos(x) - sin(x-y)) / (sin(x-y) - 1)

Вот и производная функции y по x, заданной неявно уравнением y*sin(x) - cos(x-y) = 0.