Question

Скільки коренів має задане рівняння 2x3−3x2−12x−27=0 на проміжку (0;+∞)? Відповідь:

Answer 1

Исследуем функцию с помощью  производной.

$></p> <p>Делим на 6:</p> <p><img src=$

x=-1  и  x=2  - точки возможных экстремумов

Расставляем знак производной

__+__ (-1) __-___ (2) __+__

x=-1 - точка максимума

x=2 - точка минимума

y(-1)=2·(-1)^3−3·(-1)^2−12·(-1)−27=-20

функция возрастает на (-∞;-1)  до точки максимума .

Но максимум отрицательный и значит функция не пересекает ось Ох

Затем убывает на (-1;2)   до точки минимума

y(2)=2·(2)^3−3·(2)^2−12·(2)−27=-47

Но минимум отрицательный и значит функция не пересекает ось Ох

Функция возрастает на (2;+∞)  с минимума (-47) до + ∞

и значит пересекает ось Ох.

( см. схематический график... на рисунке)

О т в е т. Один корень

Answer 2

Для знаходження кількості коренів рівняння на заданому проміжку, можна скористатися теоремою про кількість дійсних коренів у поліномі з відомими коефіцієнтами, якщо зростають послідовності знаків у його коефіцієнтах.

Дано рівняння: 2x^3 - 3x^2 - 12x - 27 = 0.

Розглянемо послідовність знаків його коефіцієнтів:

1. 2x^3 - коефіцієнт перед x^3 є додатнім.
2. -3x^2 - коефіцієнт перед x^2 є від'ємним.
3. -12x - коефіцієнт перед x є від'ємним.
4. -27 - вільний член є від'ємним.

За теоремою В'єта, сума коренів рівняння дорівнює нулю. Тобто, якщо є n дійсних коренів, то:

0 = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 27

З урахуванням послідовності знаків коефіцієнтів, ми можемо припустити, що в рівнянні є два додатних корені та один від'ємний корінь. Отже, рівняння має 3 дійсних корені на проміжку (0;+∞).

Отже, відповідь: 3 корені.