Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: У=2^X, У=0, Х=-1, Х=3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем график находим фигуру, пределы и подынтегральную функцию и получаем

$\displaystyle S=\int\limits^3_{-1} {2^x} \, dx =\frac{2^x}{ln(2)}\bigg |_{-1}^3 =\frac{15}{ln(4)}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой $y = 2^x$, осью X ($x = -1$ и $x = 3$), и осью Y ($y = 0$), нужно найти площадь между кривой и осями X от $x = -1$ до $x = 3$ и затем вычислить эту площадь.

Сначала найдем точки пересечения кривой $y = 2^x$ с осями X и Y.

Когда $y = 0$, $2^x = 0$ не имеет решений, так как $2^x$ всегда положительно.

Когда $x = -1$, $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Когда $x = 3$, $y = 2^3 = 8$.

Теперь наша фигура ограничена кривой $y = 2^x$ и осями X ($x = -1$ и $x = 3$). Площадь этой фигуры можно вычислить как разницу между площадью под кривой и осью X от $x = -1$ до $x = 3$ и 0:

$\text{Площадь} = \int_{-1}^{3} 2^x \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$\text{Площадь} = \left[ \frac{2^x}{\ln(2)} \right]_{-1}^{3}$

$\text{Площадь} = \left( \frac{2^3}{\ln(2)} \right) - \left( \frac{2^{-1}}{\ln(2)} \right)$

$\text{Площадь} = \left( \frac{8}{\ln(2)} \right) - \left( \frac{1}{2\ln(2)} \right)$

$\text{Площадь} = \frac{15}{2\ln(2)} \approx 5.39$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой $y = 2^x$, осью X ($x = -1$ и $x = 3$), и осью Y ($y = 0$), составляет примерно 5.39 квадратных единиц.