Question

Решить диф. уравнение и определить видsin(y)*cos(x)dy=cos(y)*sin(x)dx, y(1)=π/4​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения мы будем использовать метод разделения переменных. Уравнение имеет вид:

sin(y) * cos(x) dy = cos(y) * sin(x) dx

Разделим обе стороны на sin(y) * cos(y):

dy / sin(y) = dx / cos(x)

Теперь интегрируем обе стороны по соответствующим переменным:

∫(1/sin(y)) dy = ∫(1/cos(x)) dx

Для интегрирования левой стороны мы можем использовать замену переменной. Обозначим t = tan(y/2), тогда dt = (1/2) * sec^2(y/2) dy. Также мы знаем, что sin(y) = 2 * tan(y/2) / (1 + tan^2(y/2)), поэтому 1/sin(y) = (1 + tan^2(y/2)) / (2 * tan(y/2)). Теперь мы можем переписать левую сторону уравнения:

∫(1/sin(y)) dy = ∫(1 + tan^2(y/2)) / (2 * tan(y/2)) * (2 * dt) = ∫(1 + t^2) dt = ∫(1 + t^2) dt

Интегрирование правой стороны оставим без изменений:

∫(1/cos(x)) dx = ∫(1/cos(x)) dx

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫(1 + t^2) dt = ∫(1/cos(x)) dx

Интегралы:

t + (1/3)t^3 + C1 = ln|sec(x) + tan(x)| + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы интегрирования.

Теперь мы можем объединить оба выражения:

t + (1/3)t^3 + C1 = ln|sec(x) + tan(x)| + C2

Теперь подставим начальное условие y(1) = π/4:

t(π/4) + (1/3)t^3(π/4) + C1 = ln|sec(1) + tan(1)| + C2

t(π/4) + (1/3)t^3(π/4) + C1 = ln|sec(1) + tan(1)| + C2

Теперь можно решить это уравнение относительно C1:

C1 = ln|sec(1) + tan(1)| + C2 - t(π/4) - (1/3)t^3(π/4)

Таким образом, у нас есть общее решение данного дифференциального уравнения, и оно выражено через константы C1 и C2.