Question

Вычислить cos75° × cos105°​

Answer 1

Ответ:        √3/4  - 1 .

Пошаговое объяснение:

cos75° *cos105° = cos105° * ​cos75° = 1/2 [ cos(105° - 75°) + cos(105° + 75°) ] =

= 1/2 ( cos30° + cos180° ) = 1/2 ( √3/2 - 1 ) = √3/4  - 1 .

Answer 2

Для вычисления произведения cos(75°) и cos(105°) можно воспользоваться формулой синуса двойного угла:

cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

Сначала найдем cos(30°) и cos(60°), так как они понадобятся нам в дальнейших вычислениях:

cos(30°) = √3/2 cos(60°) = 1/2

Теперь выразим cos(75°) через cos(30°) и cos(60°) с помощью формулы суммы углов:

cos(75°) = cos(30° + 45°) = cos(30°)cos(45°) - sin(30°)sin(45°)

Теперь подставим значения cos(30°) и sin(30°) известные нам из предыдущих вычислений:

cos(75°) = (√3/2) * (1/√2) - (1/2) * (1/√2) cos(75°) = (√3/2√2) - (1/2√2)

Теперь найдем cos(105°) аналогичным образом:

cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)

Подставляем значения cos(60°) и sin(60°):

cos(105°) = (1/2) * (1/√2) - (√3/2) * (1/√2) cos(105°) = (1/2√2) - (√3/2√2)

Теперь у нас есть значения cos(75°) и cos(105°), и мы можем найти их произведение:

cos(75°) * cos(105°) = [ (√3/2√2) - (1/2√2) ] * [ (1/2√2) - (√3/2√2) ]

Чтобы упростить это выражение, умножим каждую скобку на другую:

cos(75°) * cos(105°) = (√3/2√2) * (1/2√2) - (√3/2√2) * (√3/2√2) - (1/2√2) * (1/2√2) + (1/2√2) * (√3/2√2)

Теперь произведения внутри скобок можно упростить:

cos(75°) * cos(105°) = (√3/4) - (3/4) - (1/4) + (√3/4)

Теперь сложим и вычтем числа:

cos(75°) * cos(105°) = (√3/4 - 3/4 - 1/4 + √3/4)

Теперь объединим подобные члены:

cos(75°) * cos(105°) = (√3/4 + √3/4) - (3/4 + 1/4)

cos(75°) * cos(105°) = (2√3/4) - (4/4)

Теперь выразим общий знаменатель:

cos(75°) * cos(105°) = (2√3 - 4) / 4

Сокращаем дробь на 2:

cos(75°) * cos(105°) = (√3 - 2) / 2

Итак, значение cos(75°) * cos(105°) равно (√3 - 2) / 2.