Question

Помогите, диф. уравнения - найти общее решение линейных уравнений, пример: 4y"-8y'+3y=0

Answer 1

Ответ:

$4y''-8y'+3y=0\\\\4k^2-8k+3=0\ \ ,\ \ \ D/4=16-12=4\ \ ,\ \ \ x_{1,2}=\dfrac{4\pm \sqrt{4}}{4}=1\pm \dfrac{1}{2}\\\\\\y_{obshee}=C_1\, e^{\frac{1}{2}\cdot x}+C_2\, e^{\frac{3}{2}\cdot x}=C_1\, e^{0,5x}+C_2\, e^{1,5x}$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

решим характеристическое уравнение 4t²-8t+3=0⇒D=64-48=16, √D=4⇒t₁=(8+4)/8=12/8=1.5, t₂=(8-4)/8=0.5

поскольку корни действительны и различны, то общий интеграл

$y=C_{1}e^{1,5x}+C_{2}e^{0,5x}$

Answer 3

Давайте найдем общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

4y" - 8y' + 3y = 0

Для этого предположим, что y имеет вид:

y(x) = e^(rx),

где r - неизвестная константа, которую мы должны найти. Теперь найдем производные y:

y'(x) = re^(rx) y''(x) = r^2e^(rx)

Подставим эти производные в исходное уравнение:

4r^2e^(rx) - 8re^(rx) + 3e^(rx) = 0

Теперь факторизуем выражение, вынесем e^(rx) за скобки:

e^(rx)(4r^2 - 8r + 3) = 0

Теперь у нас есть произведение двух функций, которое равно нулю. Это может произойти только в двух случаях:

1. e^(rx) = 0
2. 4r^2 - 8r + 3 = 0

Сначала рассмотрим первый случай:

e^(rx) = 0

Это уравнение не имеет нетривиальных решений (кроме тривиального решения y(x) = 0), так как экспонента никогда не равна нулю.

Теперь рассмотрим второй случай:

4r^2 - 8r + 3 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение. Давайте найдем корни:

D = (-8)^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16

r1 = (8 + √16) / (2 * 4) = (8 + 4) / 8 = 12/8 = 3/2 r2 = (8 - √16) / (2 * 4) = (8 - 4) / 8 = 4/8 = 1/2

Теперь у нас есть два значения r: r1 = 3/2 и r2 = 1/2.

Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения будет суммой общих решений для каждого из этих значений r:

y(x) = C1e^(3/2x) + C2e^(1/2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Это и есть общее решение данного линейного дифференциального уравнения.