Question

Знайдіть усі цілі розв'язки нерівності –2х^2+ 5х – 2 >= 0. ​

Answer 1

Ответ:

...................................................

Answer 2

Відповідь:

1 та 2

Пояснення:

Розкладемо ліву частину нерівності на множники, розв'язавши відповідне квадратне рівняння:

-2x²+5x-2 = 0

2x²-5x+2 = 0

D = b²-4ac = (-5)²-4·2·2 = 25-16 = 9

x_1 = (-b+√D)/2a = (5+√9)/(2·2) = (5+3)/4 = 2

x_2 = (-b-√D)/2a = (5-√9)/(2·2) = (5-3)/4 = 0,5

Тоді -(2x²-5x+2) = -2(x-0,5)(x-2) = (2x-1)(2-x)

Тепер нерівність перетворена до такої: (2x-1)(2-x) ≥ 0

Розв'яжемо її методом інтервалів. Позначимо нулі функції в лівій частині нерівності (корені щойно розв'язаного рівняння) на числовій прямій та з'ясуємо знак цієї функції на кожному з проміжків, які утворяться (проставимо "+" або "-").

         -                          +                       -

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(0,5)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Множиною розв'язків буде проміжок, на якому функція набуває невід'ємних значень. Тобто x ∈ [0,5; 2]. Йому належать лише два цілих числа: 1 та 2.

Answer 3

Щоб знайти всі цілі розв'язки нерівності $-2x^2 + 5x - 2 \geq 0$, спробуємо розкласти нерівність на множники та знайти інтервали значень $x$, для яких нерівність виконується.

1. Спочатку знайдемо нулі функції $-2x^2 + 5x - 2$, тобто розв'язки рівняння $-2x^2 + 5x - 2 = 0$: Розв'язок цього квадратного рівняння можна знайти за допомогою квадратного рівняння: $x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$.

   Для нашого випадку: $a = -2, b = 5, c = -2$.

   Обчислимо значення $x$:

   $$x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2)}}}}{{2 \cdot (-2)}} \\ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{{25 - 16}}}}{{-4}} \\ x = \frac{{-5 \pm \sqrt{9}}}{{-4}} \\ x_1 = \frac{{-5 + 3}}{{-4}} = \frac{{-2}}{{-4}} = \frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{{-5 - 3}}{{-4}} = \frac{{-8}}{{-4}} = 2$$

2. Тепер розглянемо три інтервали на числовій прямій, розділені точками $x_1$ та $x_2$, і визначимо, де нерівність виконується: а) $x < \frac{1}{2}$ б) $\frac{1}{2} \leq x < 2$ в) $x \geq 2$

3. Підставимо значення $x$ з кожного інтервалу в нерівність та визначимо, коли вона виконується:

   а) Для $x < \frac{1}{2}$: Підставимо $x = 0$ (довільне значення менше $\frac{1}{2}$) в нерівність:

   $$-2(0)^2 + 5(0) - 2 = -2 < 0 \quad \text{нерівність не виконується}$$

   б) Для $\frac{1}{2} \leq x < 2$: Підставимо $x = 1$ (довільне значення між $\frac{1}{2}$ та 2) в нерівність:

   $$-2(1)^2 + 5(1) - 2 = 1 \geq 0 \quad \text{нерівність виконується}$$

   в) Для $x \geq 2$: Підставимо $x = 3$ (довільне значення більше або дорівнює 2) в нерівність:

   $$-2(3)^2 + 5(3) - 2 = -14 < 0 \quad \text{нерівність не виконується}$$

Отже, розв'язок нерівності $-2x^2 + 5x - 2 \geq 0$ цілими числами має вигляд: $x \in \left[ \frac{1}{2}, 2 \right)$