Question

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10? в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S - B

Answer 1

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 18 / 11

Пошаговое объяснение:

Упорядочим числа по возрастанию (a₁ < a₂ < ... < a₁₁). Тогда по условию:

$\dfrac{a_1+a_2+...+a_6}{6}=7\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_6=42 \ (1)\\\dfrac{a_6+a_7+...+a_{11}}{6}=16\Leftrightarrow a_6+a_7+...+a_{11}=96\ (2)$

а) Если a₁ = 5, то a₂ ≥ 6, a₃ ≥ 7, ... a₆ ≥ 10. Тогда a₁ + a₂ + ... + a₆ ≥ 5 + 6 + ... + 10 = 45, но сумма шести наименьших чисел равна 42, она не может быть больше или равна 45. Значит, такое невозможно.

б) Если такое возможно, то $\dfrac{a_1+a_2+...+a_{11}}{11}=10\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{11}=110$

Сложим уравнения (1) и (2): a₁ + a₂ + ... + a₅ + 2a₆ + a₇ + ... + a₁₁ = 138. Но мы знаем, что a₁ + a₂ + ... + a₅ + a₆ + a₇ + ... + a₁₁ = 110. Тогда 110 + a₆ = 138 ⇔ a₆ = 28 ⇒ a₇ ≥ 29, a₈ ≥ 30, ... , a₁₁ ≥ 33 ⇒ a₆ + a₇ + ... + a₁₁ ≥ 28 + 29 + ... + 33 = 183. Минимально возможная сумма шести наибольших чисел в таком случае равна 183, что больше 96. Значит, такое невозможно.

в) Проведём действия, аналогичные пункту б): $\dfrac{a_1+a_2+...+a_{11}}{11}=S\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_{11}=11S$

a₁ + a₂ + ... + a₅ + 2B + a₇ + ... + a₁₁ = 138 ⇒ 11S + B = 138 ⇔ $S=\dfrac{138-B}{11}$ ⇒ $S-B=\dfrac{138-B}{11}-B=\dfrac{138-12B}{11}$. Данное выражение максимально при минимальном значении B.

Если a₆ = B, то в силу различности написанных чисел a₅ ≤ B - 1, a₄ ≤ B - 2, ... , a₁ ≤ B - 5. Тогда 42 = a₁ + a₂ + ... a₆ ≤ 6B - 15 ⇒ 6B ≥ 57 ⇔ B ≥ 9,5 ⇒ B ≥ 10. Тогда $S-B=\dfrac{138-12B}{11}\leq \dfrac{138-12\cdot 10}{11}=\dfrac{18}{11}$

Действительно, такое значение достигается, например, если были выписаны числа 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 36. Среднее арифметическое шести наименьших равно $\dfrac{2+6+7+8+9+10}{6}=\dfrac{42}{6}=7$, среднее арифметическое шести наибольших равно $\dfrac{10+11+12+13+14+36}{6}=\dfrac{96}{6}=16$, среднее арифметическое всех чисел $S=\dfrac{2+6+7+8+9+10+11+12+13+14+36}{11}=\dfrac{128}{11}$, $S-B=\dfrac{128}{11}-10=\dfrac{18}{11}$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым вопросом по очереди.

а) Пусть $x$ — наименьшее из одиннадцати чисел. Известно, что среднее арифметическое шести наименьших чисел равно 7. Так как у нас 11 различных натуральных чисел, то среднее арифметическое из 11 чисел также равно 7. Мы можем написать уравнение:

$$\frac{6x}{6} = 7$$

Решая это уравнение, мы получаем $x = 7$. Таким образом, наименьшее из этих одиннадцати чисел не может быть равно 5.

б) Среднее арифметическое всех 11 чисел равно 10. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{11}}{11} = 10$$

где $a_1$ до $a_{11}$ представляют собой эти 11 чисел. Умножив обе стороны на 11, мы получаем:

$$a_1 + a_2 + \ldots + a_{11} = 110$$

Это означает, что сумма всех 11 чисел равна 110. Однако, так как все числа различны и наименьшее из них $x$ равно 7 (по предыдущему ответу), то наименьшая возможная сумма этих 11 чисел составляет:

$$x + (x+1) + \ldots + (x+10) = 11x + 55$$

Так как сумма равна 110, мы можем написать:

$$11x + 55 = 110 \implies x = 5$$

Таким образом, наименьшее из этих 11 чисел равно 5, что означает, что среднее арифметическое всех 11 чисел может быть 10.

в) Пусть $B$ — шестое по величине число. Мы знаем, что среднее арифметическое шести наибольших чисел равно 16. Так как $B$ является шестым наибольшим числом, то:

$$\frac{B + (B-1) + \ldots + (B-5)}{6} = 16$$

Это означает:

$$6B - 15 = 96$$

Решая уравнение, мы получаем $B = 17$.

Теперь мы можем найти среднее арифметическое всех 11 чисел $S$:

$$S = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{11}}{11}$$

Так как $B$ — шестое по величине число, а наименьшее $x$ равно 7, наибольшее число равно $B + 10 = 17 + 10 = 27$.

Таким образом,

$$S = \frac{x + (x+1) + \ldots + (B+10)}{11} = \frac{7 + 8 + \ldots + 27}{11}$$

Мы можем найти $S$:

$$S = \frac{\frac{7+27}{2} \times 21}{11} = \frac{17 \times 21}{11} \approx 32.727$$

Теперь найдем наибольшее значение выражения $S - B$:

$$S - B = \frac{17 \times 21}{11} - 17 \approx 15.545$$

Таким образом, наибольшее значение выражения $S - B$ примерно равно 15.545.