Question

Произведение двух взаимно простых натуральных чисел — точный квадрат. Докажите, что оба эти числа точные квадраты.​

Answer 1

a,b числа тогда ab=c^2 где c-натуральное, понятно что любое число можно записать разложив его на простые множители, то есть в данном случае так как a,b,c натуральные  ab=p1^(2t1)*p2^(2t2)*....p(n)^(2t(n)) где p1,p2...,p(n) простые числа, но так как (a,b)=1 взаимно простые, тогда a=1, b=1 либо a=1, b=p1^(2t1) и наоборот либо a=p1^(2t1) , b=p2^(2t2)

Answer 2

Давайте докажем это утверждение от противного. Предположим, что у нас есть два взаимно простых натуральных числа, и их произведение является точным квадратом, но сами числа не являются точными квадратами. Обозначим эти числа как a и b, где:

a и b - взаимно простые натуральные числа, ab - точный квадрат, и a и b не являются точными квадратами.

Теперь мы можем записать каждое из чисел a и b как произведение их простых множителей:

a = p₁^α₁ * p₂^α₂ * ... * pₖ^αₖ, b = q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₘ^βₘ,

где p₁, p₂, ..., pₖ и q₁, q₂, ..., qₘ - простые числа, α₁, α₂, ..., αₖ и β₁, β₂, ..., βₘ - их показатели степени (натуральные числа, не равные нулю).

Теперь мы знаем, что ab - точный квадрат, поэтому:

ab = (p₁^α₁ * p₂^α₂ * ... * pₖ^αₖ) * (q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₘ^βₘ) = r₁^γ₁ * r₂^γ₂ * ... * rₚ^γₚ,

где r₁, r₂, ..., rₚ - простые числа, γ₁, γ₂, ..., γₚ - их показатели степени.

Теперь давайте рассмотрим, какие простые числа входят в разложение числа ab. Все простые числа из разложения a (p₁, p₂, ..., pₖ) и все простые числа из разложения b (q₁, q₂, ..., qₘ) также входят в разложение ab. Поскольку a и b взаимно просты, то ни одно из простых чисел разложения a не делится нацело на простые числа разложения b, и наоборот. Это означает, что все простые числа в разложении ab уникальны и представлены в обоих разложениях a и b.

Теперь мы можем сравнить показатели степени в обоих разложениях. Поскольку ab - точный квадрат, то каждый показатель степени γᵢ должен быть четным числом. Однако если мы рассмотрим показатели степени αᵢ и βᵢ в разложениях a и b соответственно, то они не являются четными, так как сами числа a и b не являются точными квадратами (по условию).

Итак, мы пришли к противоречию: мы предположили, что a и b - взаимно простые натуральные числа, и их произведение ab - точный квадрат, но также предположили, что a и b не являются точными квадратами. Это противоречие говорит о том, что наше исходное предположение неверно.

Следовательно, если произведение двух взаимно простых натуральных чисел является точным квадратом, то оба эти числа также являются точными квадратами.