Question

Добрый вечер. Помогите пожалуйста. Вероятность работы без брака на одном станке равна 0,8. При каком количестве станков вероятность работы без брака становится меньше 0,4?

Answer 1

В таких задачах лучше указывать тему или раздел, к которым они относятся, иначе решения могут быть очень разными в зависимости от интерпретации.

У вас, видимо, речь идет про обычное перемножение вероятностей.

Один станок работает успешно с вероятностью 0.8

Другой станок, независимо от первого, работает правильно с той же вероятность.

Вероятность успеха обоих одновременно есть $0.8^2$

Обобщая на случай $N$ станков получаем соответственно $0.8^N$

Тогда при каком $N$ справедливо $0.8^N=0.4$ ?

$N = \frac{\log (0.4)}{\log (0.8)} \approx 4.1$

Т.е. уже при пяти станках вероятность будет меньше 0.4

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется найти минимальное количество станков, при котором вероятность работы без брака становится меньше 0,4. Мы знаем, что вероятность работы без брака на одном станке равна 0,8.

Давайте обозначим вероятность работы без брака на одном станке как P(без брака на одном станке) = 0,8.

Теперь нам нужно найти количество станков (n), при котором вероятность работы без брака станет меньше 0,4. Для этого мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть только два исхода: работа без брака (успех) и работа с браком (неудача).

Биномиальное распределение задается формулой: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где:

• P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов (работа без брака),
• n - общее количество испытаний (количество станков),
• k - количество успехов (количество станков без брака),
• p - вероятность успеха (вероятность работы без брака на одном станке),
• C(n, k) - количество сочетаний из n по k (число сочетаний).

Мы хотим найти минимальное n так, чтобы вероятность работы без брака (k станков без брака) стала меньше 0,4: P(X = k) < 0,4.

Теперь мы можем приступить к решению. Начнем с k = 0 (ни один станок без брака) и будем увеличивать k до тех пор, пока вероятность P(X = k) не станет меньше 0,4.

1. k = 0: P(X = 0) = C(n, 0) * 0.8^0 * (1 - 0.8)^n = 1 * 1 * (0.2)^n = 0.2^n.

Мы хотим, чтобы это было меньше 0,4: 0.2^n < 0.4.

2. Теперь найдем n, удовлетворяющее неравенству: 0.2^n < 0.4.

Для этого возьмем логарифм с обоих сторон неравенства: log(0.2^n) < log(0.4).

n * log(0.2) < log(0.4).

Теперь разделим обе стороны на log(0.2): n < log(0.4) / log(0.2).

Используя калькулятор, вычислим n: n < -0.3979 / -0.6989.

n < 0.5699.

Из-за того, что n - количество станков, должно быть целым числом, округлим результат вверх до ближайшего целого числа:

n = 1.

Таким образом, минимальное количество станков, при котором вероятность работы без брака становится меньше 0,4, равно 1.