Question

1) f(x) =x^5+x^4 2) f(x) =cos(4x-5) 3) f(x) =5cosx+4sinxпомогите пожалуйстанайти первообразную​

Answer 1

a) F(x)=-2cosx+C

b) F(x)=2sinx+C

c) F(x)=3sinx+4cosx+C

d)F(x)=-5cosx+2sinx+C

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти первообразные для данных функций:

1. Для функции f(x) = x^5 + x^4:

Чтобы найти первообразную (интеграл) этой функции, выполните следующий интеграл:

∫(x^5 + x^4) dx

Разделим интеграл на два члена:

∫x^5 dx + ∫x^4 dx

Теперь вычислим каждый из этих интегралов:

∫x^5 dx = (1/6)x^6 + C1 ∫x^4 dx = (1/5)x^5 + C2

Где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь объединим результаты:

∫(x^5 + x^4) dx = (1/6)x^6 + C1 + (1/5)x^5 + C2

2. Для функции f(x) = cos(4x - 5):

∫cos(4x - 5) dx

Для интегрирования этой функции, мы можем воспользоваться методом подстановки. Пусть u = 4x - 5, тогда du/dx = 4, и dx = du/4. Теперь подставим это в интеграл:

∫cos(u) * (1/4) du

Теперь вычислим интеграл от cos(u):

(1/4)∫cos(u) du = (1/4) * sin(u) + C

Теперь вернемся к переменной x:

(1/4) * sin(u) + C = (1/4) * sin(4x - 5) + C

3. Для функции f(x) = 5cos(x) + 4sin(x):

∫(5cos(x) + 4sin(x)) dx

Для интегрирования этой функции, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Обозначим:

u = 5cos(x) (выберем для дифференцирования) dv = dx (оставшаяся часть)

Теперь вычислим производные и интегралы:

du = -5sin(x) dx v = ∫dv = x

Применим метод интегрирования по частям:

∫(5cos(x) + 4sin(x)) dx = 5∫cos(x) dx + 4∫sin(x) dx = 5(∫u dv) + 4(∫v du) = 5uv - 5∫v du + 4∫v du = 5x(5cos(x)) - 5∫(x * (-5sin(x))) dx + 4∫(x * sin(x)) dx

Теперь вычислим оставшиеся интегралы:

= 5x(5cos(x)) + 5∫(x * 5sin(x)) dx + 4∫(x * sin(x)) dx = 25xcos(x) + 25∫(x * sin(x)) dx + 4∫(x * sin(x)) dx

Теперь у нас есть два интеграла ∫(x * sin(x)) dx. Давайте вычислим их:

Первый интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям снова:

∫(x * sin(x)) dx = -x * cos(x) + ∫cos(x) dx = -x * cos(x) + sin(x) + C1

Где C1 - произвольная константа.

Подставим это в нашу исходную формулу:

= 25xcos(x) + 25(-x * cos(x) + sin(x) + C1) + 4(-x * cos(x) + sin(x) + C2)

Теперь объединим константы:

= (25x - 25x)cos(x) + (25 + 4)sin(x) + 25C1 + 4C2 = 29sin(x) + 25C1 + 4C2

Итак, первообразная для функции f(x) = 5cos(x) + 4sin(x) равна:

F(x) = 29sin(x) + 25C1 + 4C2, где C1 и C2 - произвольные константы.