Question

Известно, что 813+sinφ=cosφ для некоторого действительного φ. Чему равно sin2φ?​

Answer 1

Ответ:

105/169

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи начнем с уравнения:

813 + sin(φ) = cos(φ)

Переносим sin(φ) на левую сторону уравнения:

sin(φ) + cos(φ) = 813

Теперь воспользуемся тригонометрическими идентичностями для sin(φ + α), где α - некоторый угол:

sin(φ + α) = sin(φ)cos(α) + cos(φ)sin(α)

Мы видим, что наше уравнение напоминает это выражение, если мы выберем α так, чтобы выполнялось:

cos(α) = 1 и sin(α) = 1

Таким образом, α = π/4, так как cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2.

Теперь мы можем записать:

sin(φ + π/4) = sin(φ)cos(π/4) + cos(φ)sin(π/4)

sin(φ + π/4) = (1/√2)sin(φ) + (1/√2)cos(φ)

Теперь воспользуемся начальным уравнением:

sin(φ) + cos(φ) = 813

sin(φ + π/4) = (1/√2)(sin(φ) + cos(φ)) = (1/√2)(813)

Теперь мы знаем значение sin(φ + π/4), и мы можем найти sin(2φ) с помощью тригонометрической формулы двойного угла:

sin(2φ) = 2sin(φ)cos(φ)

Заметим, что sin(φ + π/4) содержит как sin(φ), так и cos(φ), поэтому мы можем использовать это значение:

sin(2φ) = 2(sin(φ + π/4) - (1/√2)cos(φ))

Теперь мы можем выразить sin(φ) и cos(φ) из начального уравнения:

sin(φ) = 813 - cos(φ) cos(φ) = 813 - sin(φ)

Подставляем эти значения в уравнение для sin(2φ):

sin(2φ) = 2(sin(φ + π/4) - (1/√2)(813 - sin(φ)))

Теперь решим это уравнение:

sin(2φ) = 2(sin(φ + π/4) - (1/√2)(813 - sin(φ)))

sin(2φ) = 2(sin(φ + π/4) - (1/√2)(813 - sin(φ)))

sin(2φ) = 2(sin(φ)cos(π/4) + cos(φ)sin(π/4) - (1/√2)(813 - sin(φ)))

sin(2φ) = 2((1/√2)(813 - cos(φ)) + (1/√2)sin(φ) - (1/√2)(813 - sin(φ)))

sin(2φ) = 2(1/√2)(2sin(φ) - 813)

sin(2φ) = √2(2sin(φ) - 813)

Теперь мы можем подставить значение sin(φ) из начального уравнения:

sin(2φ) = √2[2(813 - cos(φ)) - 813]

sin(2φ) = √2[1626 - 2cos(φ) - 813]

sin(2φ) = √2[813 - 2cos(φ)]

sin(2φ) = 2√2(406 - cos(φ))

Теперь, чтобы найти значение sin(2φ), нам нужно узнать значение cos(φ). Однако без дополнительной информации о φ нельзя точно определить значение sin(2φ). Если бы у нас были дополнительные данные о φ или какие-то ограничения на его значение, мы могли бы продолжить решение.