Question

Дана клетчатая доска 6 x 8. Раскрась её клетки как можно меньшим количеством цветов так, чтобы для каждой клетки её противоположные соседи по стороне были разных цветов, а её противоположные соседи по диагонали одного цвета (каждая клетка целиком красится в один ИЗ цветов). (Если у клетки для какого-то Соседа нет противоположного (например, если клетка находится на краю доски), то считается, что для этого соседа условие выполнено.) ee Противоположные соседи по стороне Противоположные соседи по диагонали А) Сколько всего цветов понадобилось? Б) Попробуй доказать, что меньшим числом цветов обойтись нельзя.

Answer 1

Ответ:

.......................

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться жадным алгоритмом. Мы начнем с раскрашивания доски с учетом противоположных соседей по стороне и будем стараться использовать как можно меньше цветов. Затем мы учтем противоположных соседей по диагонали и, если потребуется, будем добавлять дополнительные цвета.

A) Сколько всего цветов понадобится?

Давайте посмотрим на клетчатую доску 6 x 8. Мы можем начать раскрашивание с верхней левой клетки и двигаться слева направо, сверху вниз. Пусть мы используем всего 2 цвета: A и B. Начнем с клетки A. Каждая следующая клетка будет иметь цвет, противоположный предыдущей по горизонтали, чтобы удовлетворить условие противоположных соседей по стороне. Когда мы достигнем правого края, перейдем на следующую строку и начнем с противоположного цвета (например, если последняя клетка в первой строке была A, то первая клетка во второй строке будет B).

По окончании этого процесса доска будет выглядеть следующим образом:

cssCopy code
A B A B A B A B
B A B A B A B A
A B A B A B A B
B A B A B A B A
A B A B A B A B
B A B A B A B A

Теперь учтем противоположных соседей по диагонали. Если две клетки имеют общего диагонального соседа и одинаковый цвет, то мы должны изменить цвет одной из этих клеток. В данной доске это условие выполняется для каждой пары диагональных соседей, поэтому нам не потребуется добавлять дополнительные цвета. Таким образом, всего нам понадобится 2 цвета.

B) Доказательство того, что меньшим числом цветов обойтись нельзя.

Давайте рассмотрим почему нельзя обойтись меньшим числом цветов.

В данной задаче, каждая клетка имеет 4 соседа по стороне и 4 соседа по диагонали. Если бы мы использовали только один цвет для всех клеток, то у нас бы не получилось удовлетворить оба условия: противоположные соседи по стороне должны быть разных цветов, а противоположные соседи по диагонали должны иметь одинаковый цвет.

Поэтому нам необходимо как минимум два цвета, чтобы удовлетворить оба условия, и это минимальное количество цветов, которое можно использовать для данной доски.