Question

Гирлянда состоит из 20 лампочек. Вероятность того, что за время T одна из лампочек не перегорит, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышёва, оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между числом не перегоревших ламп и средним числом включённых ламп за время T окажется не меньше, чем три. Ответ округлите до сотых.

Answer 1

Ответ: а) ≈0,64; б) ≈0,36

Пошаговое объяснение:

Положим, что случайная величина X – это число включенных лампочек за время T.

Поскольку проводятся повторные независимые испытания с двумя исходами, то

p=0,8

q=1–p=0,2

n=20,

следовательно, что случайная величина распределяется по биномиальному закону.

а это означает, что

M(X)=np=20·0,8=16

D(X)=npq=20·0,8·0,2=3,2

исходя из неравенства Чебышева:

P(|X–M(X)| < ε) ≥ 1–(D(X)/ε2)

а) Р(|X–16| < 3) ≥ 1– (3,2/92)=(9–3,2)/9=

=5,8/9=0,64444... ≈ 0,64

б)

Поскольку события | X–16| < 3 и |X–16| ≥ 3,

то

P(|X–M(X)| ≥ 3) =1– Р(|X–16| < 3) ≈

≈1 – 0, 64 = 0,36

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать неравенство Чебышёва, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её среднего значения.

Неравенство Чебышёва гласит:

$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2},$

где:

• $X$ - случайная величина,
• $\mu$ - её среднее значение,
• $\sigma$ - стандартное отклонение случайной величины,
• $k$ - некоторая положительная константа.

В данной задаче случайная величина - количество не перегоревших лампочек за время $T$. Мы знаем, что вероятность того, что одна лампочка не перегорит, равна 0,8, и это можно интерпретировать как вероятность успеха в испытании Бернулли. Таким образом, вероятность неудачи (перегорания лампочки) равна $1 - 0,8 = 0,2$.

Также, мы знаем, что количество лампочек $n = 20$. Следовательно, среднее значение (математическое ожидание) этой случайной величины равно $\mu = np = 20 \cdot 0,8 = 16$.

Теперь мы можем найти стандартное отклонение $\sigma$ для этой случайной величины, которое равно $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0,8 \cdot 0,2} = \sqrt{3,2}$.

Теперь мы можем использовать неравенство Чебышёва для оценки вероятности:

$P(|X - 16| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}.$

Теперь округлим ответ до сотых:

$P(|X - 16| \geq 3) \leq \frac{1}{9} \approx 0,1111.$

Ответ: Вероятность того, что абсолютная величина разности между числом не перегоревших ламп и средним числом включённых ламп за время $T$ окажется не меньше, чем три, оценивается как приближенно 0,11 (округлено до сотых).