Question

Найди такое минимальное k ∈ N, что при выборе k различных чисел из чисел от 1 до 50 два из них обязательно будут иметь сумму 51.

Answer 1

Ответ:

Минимальное значение k = 26.

Пошаговое объяснение:

Найти такое минимальное значение натурально числа k, что при выборе k чисел из ряда от 1 до 50, обязательно найдутся два таких, что их сумма будет равна 51.

1) Сумму двух слагаемых, равную 51 можно получить следующими способами:

51 = 1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 = ... =  n + (51 - n).

Заметим, что сумму 51 дают два числа, из которых одно четное, другое нечетное.

2) Если мы выберем количество чисел k  не больше половины из всех имеющихся 50-ти чисел, то найдется такая группа из k чисел, в которых нет двух чисел, в сумме дающих 51.

Например, k = 25.

Возьмем 25 чисел от 26 до 50. В этом случае сумма двух наименьших из них 26 + 27 = 53, что больше 51.

А суммы двух других чисел из этого ряда будут еще больше.

Значит число k должно быть: половина всех чисел и еще одно, так как в середине ряда от 1 до 50 есть два числа, сумма которых равна 51:

25 + 26 = 51.

Тогда k = 26.

3) В условии сказано "при выборе k различных чисел ".

Найдется ли два числа, сумма которых равна 51, если мы будем выбирать числа не по порядку?

Да, найдется, так как сумму 51 дают два числа, из которых одно четное, другое нечетное.

То есть любому нечетному числу поставлено в соответствие одно четное число такое, что сумма этих двух чисел равна 51.

Например.

При k = 26.

Выберем из ряда от 1 до 50 все нечетные числа, их будет половина, то есть 25.

Тогда мы должны добавить одно любое четное число.

А для него найдется пара, составляющая сумму 51.

Если добавим четное число, к примеру 32.
Среди нечетных чисел есть число 19, и тогда их сумма:

32 + 19 = 51.

Делаем вывод, при выборе любого количества четных и нечетных чисел среди всех 26 чисел, найдется пара, дающая в сумме 51.

При минимальном значении натурального числа k = 26 при выборе k различных чисел из чисел от 1 до 50 два из них обязательно будут иметь сумму 51.

Answer 2

Для нахождения минимального значения k, при котором при выборе k различных чисел из чисел от 1 до 50 два из них обязательно будут иметь сумму 51, можно воспользоваться принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков и шаров).

Предположим, что k таких чисел можно выбрать без выполнения условия. Затем давайте разделим числа от 1 до 50 на две группы: одну с числами, меньшими или равными 25, и другую с числами, большими 25.

Если мы выберем k чисел, они будут либо из первой группы (числа от 1 до 25) либо из второй группы (числа от 26 до 50). Теперь рассмотрим возможные суммы, которые могут быть получены, выбирая числа из одной из этих двух групп:

1. Если мы выберем k чисел из первой группы (от 1 до 25), то максимальная сумма, которую можно получить, равна сумме двух наибольших чисел из этой группы, то есть 25 + 24 = 49.

2. Если мы выберем k чисел из второй группы (от 26 до 50), то минимальная сумма, которую можно получить, равна сумме двух наименьших чисел из этой группы, то есть 26 + 27 = 53.

Таким образом, при выборе k чисел из чисел от 1 до 50 сумма двух из них никогда не будет равна 51. Поэтому минимальное значение k для выполнения условия равно 51.

Ответ: k = 51.