Question

ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ sin^4x+cos^4x <=5/8

Answer 1

Ответ:

(sin²x+cos²x)²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²xcos²x

1-sin²2x/2<=5/8

sin²2x/2>=3/8

sin²2x>=3/4

0<=sin²2x<=1

sqrt(3)/2<=sin2x<=1 П/6+Пk<=x<=П/3+Пk

-1<=sin2x<=-sqrt(3)/2 -П/3+Пk<=x<=-П/6+Пk

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте попробуем решить неравенство sin^4(x) + cos^4(x) ≤ 5/8.

Сначала заметим, что sin^4(x) и cos^4(x) - это неотрицательные значения, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен. Таким образом, мы можем использовать неравенство AM-GM (неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим) для суммы sin^4(x) и cos^4(x):

(sin^4(x) + cos^4(x))/2 ≥ sqrt(sin^4(x) * cos^4(x))

Теперь давайте выразим sqrt(sin^4(x) * cos^4(x)):

sqrt(sin^4(x) * cos^4(x)) = sqrt((sin^2(x))^2 * (cos^2(x))^2) = sin^2(x) * cos^2(x)

Теперь мы можем переписать наше исходное неравенство:

(sin^4(x) + cos^4(x))/2 ≥ sin^2(x) * cos^2(x)

Умножим обе стороны на 2:

sin^4(x) + cos^4(x) ≥ 2 * sin^2(x) * cos^2(x)

Теперь нам нужно найти максимальное значение sin^2(x) * cos^2(x). Это произведение достигает максимума 1/4 при x = π/4 (45 градусов), когда sin(x) = cos(x) = 1/√2.

Итак, мы имеем:

sin^4(x) + cos^4(x) ≥ 2 * (1/4) = 1/2

Теперь, когда мы знаем, что sin^4(x) + cos^4(x) ≥ 1/2, мы можем записать исходное неравенство:

sin^4(x) + cos^4(x) ≤ 5/8

1/2 ≤ 5/8

Поскольку 1/2 не больше 5/8, то это неравенство выполняется для всех значений x. Таким образом, решение неравенства sin^4(x) + cos^4(x) ≤ 5/8 - это весь диапазон значений x.