Question

Знайдіть область визначення функціїf(x) = (sqrt(x + 3))/(x ^ 2 + 2x - 8)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: ответ в изображении

Answer 2

Щоб знайти область визначення функції $f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 + 2x - 8}$, спростимо область визначення, враховуючи дві основні обмеження:

1. Дільник не може дорівнювати нулю, оскільки ділення на нуль є невизначеним: $x^2 + 2x - 8 \neq 0$

2. Вираз під коренем не може бути від'ємним, оскільки корінь квадратний і визначений лише для не від'ємних чисел: $x + 3 \geq 0$

Розв'яжемо кожне з цих обмежень:

1. Для першого обмеження розв'язуємо рівняння: $x^2 + 2x - 8 = 0$

   Щоб знайти корені цього квадратного рівняння, можемо використовувати дискримінант:

   $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

   Дискримінант дорівнює 36, що є додатнім числом. Отже, рівняння має два різних дійсних корені:

   $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} = 2 \text{ або } -4$

   Отже, область визначення враховує всі значення $x$, крім $x = 2$ та $x = -4$.

2. Для другого обмеження розв'язуємо нерівність: $x + 3 \geq 0$

   Віднімаємо 3 з обох сторін:

   $x \geq -3$

Отже, область визначення функції $f(x)$ - це всі значення $x$, крім $x = 2$ і $x = -4$, і при цьому $x$ повинен бути більшим або рівним -3:

$D_f = (-\infty, -3) \cup (-3, 2) \cup (2, \infty)$

Це означає, що функція $f(x)$ визначена для будь-якого $x$, окрім $x = 2$ і $x = -4$, та включає в себе всі інші дійсні числа.