Question

Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке M(0) к след. поверхностям ax^2+by^2+cz^2=1 M(0)(x0,y0,z0) Помогите пожалуйста решить подробно,заранее спасибо)))

Answer 1

Смотри решение на фото, но здесь не даны числа, поэтому в общем виде

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M(0) на поверхности, заданной уравнением ax^2 + by^2 + cz^2 = 1, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите частные производные данной функции от x, y и z:

∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂x = 2ax ∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂y = 2by ∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂z = 2cz

2. Теперь найдите значения частных производных в точке M(0):

В точке M(0), x = x0, y = y0 и z = z0, поэтому:

∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂x в точке M(0) = 2ax0 ∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂y в точке M(0) = 2by0 ∂(ax^2 + by^2 + cz^2)/∂z в точке M(0) = 2cz0

3. Теперь у нас есть вектор нормали N к поверхности в точке M(0), который можно записать как N = (2ax0, 2by0, 2cz0).

4. Уравнение касательной плоскости в точке M(0) можно записать в следующем виде:

2ax0(x - x0) + 2by0(y - y0) + 2cz0(z - z0) = 0

5. Упростите уравнение, разделив его на 2:

ax0(x - x0) + by0(y - y0) + cz0(z - z0) = 0

Это уравнение представляет собой уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M(0).

6. Чтобы найти уравнение нормали, просто используйте вектор нормали N:

2ax0(x - x0) + 2by0(y - y0) + 2cz0(z - z0) = 0

Уравнение нормали будет иметь вид:

ax0(x - x0) + by0(y - y0) + cz0(z - z0) = 0

Это уравнение представляет собой уравнение нормали к поверхности в точке M(0).

Теперь у вас есть уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в заданной точке M(0).