Question

Дана функция z = f(x, y) и точки A(x0; y0) и B(x1; y1). Требуется: 1) вычислить точное значение функции в точке B; 2) вычислить приближенное значение функции в точке B, исходя из значения функции в точке A, и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность; 4) составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x0; y0; z0). z = y^2 + 6xy – 3y A(3;2) B(2.94; 2.05)

Answer 1

1) Вычисление точного значения функции в точке B

Для вычисления точного значения функции в точке B(x1, y1), необходимо подставить значения x1 и y1 в функцию f(x, y) и вычислить результат. В данном случае, функция f(x, y) задана как z = y^2 + 6xy – 3y.

Подставляя значения x1 = 2.94 и y1 = 2.05 в функцию, получим: z = (2.05)^2 + 6(2.94)(2.05) – 3(2.05)

Вычислив это выражение, мы получим точное значение функции в точке B.

2) Вычисление приближенного значения функции в точке B с использованием дифференциала

Для вычисления приближенного значения функции в точке B(x1, y1) с использованием дифференциала, мы используем формулу приращения функции:

Δz = dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy

где (∂z/∂x) и (∂z/∂y) - частные производные функции z(x, y) по x и y соответственно, dx и dy - приращения переменных x и y при переходе от точки A к точке B.

Для вычисления частных производных, возьмем частные производные функции z(x, y) по каждой переменной x и y:

∂z/∂x = 6y ∂z/∂y = 2y + 6x - 3

Подставляя значения x1 = 2.94 и y1 = 2.05, а также значения (∂z/∂x) и (∂z/∂y) в формулу приращения функции, мы можем вычислить приближенное значение функции в точке B.

3) Оценка относительной погрешности в процентах

Относительная погрешность вычисления приближенного значения функции в точке B можно оценить, используя следующую формулу:

Относительная погрешность (%) = (|точное значение - приближенное значение| / |точное значение|) * 100

Подставляя значения точного значения и приближенного значения функции в формулу, можно оценить относительную погрешность в процентах.

4) Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x0, y0, z0)

Для составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности z = f(x, y) в точке C(x0, y0, z0), мы используем частные производные функции z(x, y) по x и y в точке C.

Уравнение касательной плоскости имеет вид: z - z0 = (∂z/∂x)(x - x0) + (∂z/∂y)(y - y0)

Уравнение нормали к поверхности имеет вид: z - z0 = - (∂z/∂x)(x - x0) - (∂z/∂y)(y - y0)

Подставляя значения (∂z/∂x), (∂z/∂y), x0, y0 и z0 в уравнения, мы можем составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке C(x0, y0, z0).