Question

Три положительных целых числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найти эти числа , если сумма их попарных произведений равна 39

Answer 1

1;4;7
(1*4)+(4*7)+(1*7)=39

Answer 2

Давайте обозначим три последовательных положительных целых числа как a, a + d и a + 2d, где a - первый член, а d - разность этой арифметической прогрессии.

Теперь мы можем записать уравнение для суммы попарных произведений этих чисел:

a(a + d) + a(a + 2d) + (a + d)(a + 2d) = 39

Раскроем скобки:

a^2 + ad + a^2 + 2ad + a^2 + 3ad + 2d^2 = 39

Теперь объединим подобные слагаемые:

3a^2 + 6ad + 2d^2 = 39

Далее, выразим это уравнение в более простом виде, поделив все слагаемые на 3:

a^2 + 2ad + (2/3)d^2 = 13

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными a и d. Мы также знаем, что a и d - положительные целые числа. Мы можем попробовать различные значения d и найти соответствующие значения a.

Попробуем d = 1:

a^2 + 2a + (2/3) = 13

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

3a^2 + 6a + 2 = 39

Теперь выразим a^2 + 2a + 2 = 13:

a^2 + 2a - 11 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с использованием квадратного корня:

a = (-2 ± √(2^2 - 41(-11))) / (2*1)

a = (-2 ± √(4 + 44)) / 2

a = (-2 ± √48) / 2

a = (-2 ± 4√3) / 2

a = -1 ± 2√3

Таким образом, получаем два значения для a:

a1 = -1 + 2√3 a2 = -1 - 2√3

Теперь найдем соответствующие значения d:

Для a1:

a1 + d = (-1 + 2√3) + d d = (-1 + 2√3) - (-1) d = 2√3

Для a2:

a2 + d = (-1 - 2√3) + d d = (-1 - 2√3) - (-1) d = -2√3

Итак, у нас есть две пары чисел, удовлетворяющих условиям:

1. (a1, a1 + d, a1 + 2d) = (-1 + 2√3, 2√3, -1 - 2√3)
2. (a2, a2 + d, a2 + 2d) = (-1 - 2√3, -2√3, -1 + 2√3)

Оба набора представляют три последовательных положительных целых числа, сумма попарных произведений которых равна 39.