Question

Составить уравнение касательной, проведенной в точке A (-2; 1) окружности x^2+y^2-2x+4y-13=0

Answer 1

составить уравнение касательной, проведенной в точке A (-2; 1) окружности x^2+y^2-2x+4y-13=0

(-2)^2+1^2-2(-2)+4·1-13=4+1+4+4-13 ⇒
 A (-2; 1) ∈ окружности x^2+y^2-2x+4y-13=0

(x^2-2x)+(y^2+4y)-13=0
(x-1)^2+(y+2)^2=13+1+4
(x-1)^2+(y+2)^2=18

центр окружности в точке С(1;-2),  R=3√2
т  A (-2; 1)  находится на кривой y=√(18-(x-1)²)

уравнение касательной y=y0+f¹(-2)(x+2)
y0=1
f¹(x)=[1/(2√(18-(x-1)²)]·(-2(x-1))=-(x-1)/√(18-(x-1)²)
  f¹(-2)=-(-2-1)/√(18-(-2-1)²) =3/3=1

уравнение касательной y=1+(x+2)   y=x+3

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке A (-2, 1), сначала нужно найти производные уравнения окружности и затем использовать их для определения углового коэффициента касательной.

Уравнение окружности дано в виде: x^2 + y^2 - 2x + 4y - 13 = 0

Давайте выразим y из этого уравнения: y^2 + 4y = -x^2 + 2x + 13

y^2 + 4y + 4 = -x^2 + 2x + 13 + 4

(y + 2)^2 = -x^2 + 2x + 17

Теперь мы можем взять производные обеих сторон по x: d/dx [(y + 2)^2] = d/dx [-x^2 + 2x + 17]

Используя правило цепочки, мы получаем: 2(y + 2) * dy/dx = -2x + 2

Теперь, найдем значение dy/dx (производной y по x) в точке A (-2, 1). Подставим x = -2 и y = 1 в уравнение выше: 2(1 + 2) * dy/dx = -2(-2) + 2

2(3) * dy/dx = 4 + 2

6 * dy/dx = 6

dy/dx = 6 / 6

dy/dx = 1

Теперь у нас есть угловой коэффициент касательной в точке A (-2, 1). Теперь мы можем использовать это значение и координаты точки A для записи уравнения касательной в виде y = mx + c, где m - угловой коэффициент, и c - точка пересечения с осью y (отсекаемый отрезок).

m = 1 (как мы вычислили выше) Точка A (-2, 1)

Теперь подставим это в уравнение: y = 1x + c

Используем координаты точки A (-2, 1): 1 = 1*(-2) + c

1 = -2 + c

c = 1 + 2

c = 3

Таким образом, уравнение касательной в точке A (-2, 1) к данной окружности будет: y = x + 3