Question

Найдите какой-либо корень уравнения cos x=1/2 удовлетворяющий неравенству sin>0 (с объяснениями)

Answer 1

$cosx= \frac{1}{2} \\\\ x={\pm} \frac{ \pi }{3} +2 \pi k$

sinx>0 в 1 и 2 четвертях, т.е. от 0 до π

поэтому возьмем положительное решение уравнения с косинусом (т.к. оно в первой четверти, а отрицательный корень в четвертой четверти) $x= \frac{ \pi }{3}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Это уравнение имеет несколько решений в диапазоне $0 \leq x \leq 2\pi$, так как косинус имеет период $2\pi$ и равен $\frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь давайте посмотрим на неравенство $\sin(x) > 0$. Синус положителен в интервалах $(0, \pi)$ и $(2\pi, 3\pi)$, так как это те участки, где синус находится выше $x\"-оси$ на графике синусоиды.

Таким образом, нам нужно найти корни уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$, которые лежат в интервалах $(0, \pi)$ и $(2\pi, 3\pi)$.

Известно, что $\cos(\pi - \theta) = -\cos(\theta)$. Также $\cos(2\pi + \theta) = \cos(\theta)$. С учетом этого мы можем записать следующее:

1. Для интервала $(0, \pi)$:
   • Решение $\cos(x) = \frac{1}{2}$ равно $x = \frac{\pi}{3}$.
   • Тогда $\pi - x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ также будет решением (положительный синус, но значение косинуса отрицательно).
2. Для интервала $(2\pi, 3\pi)$:
   • Решение $\cos(x) = \frac{1}{2}$ равно $x = \frac{5\pi}{3}$.
   • Тогда $2\pi + x = 2\pi + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ также будет решением (положительный синус и значение косинуса положительно).

Итак, корни уравнения $\cos(x) = \frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $\sin(x) > 0$, это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{11\pi}{3}$.