Question

Определить первый член, знаменатель и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что разность между ее пятым и третьим членами 72, а разность между четвертым и вторым 36.

Answer 1

Дано: 
a1 a2 a3 a4 a5
a5-a3=72 и a4-a2=36
-----------------------------
a1=? S5=? q=?
Решение:
a5=a1* $q^{4}$
a4=a1* $q^{3}$
a3=a1* $q^{2}$
a2= a1*q
1) система:  $\left \{ {{a1*q^{4} - a1* q^{2}=72 } \atop {a1 * q^{3} -a1* q=36}}$
=> $\left \{ {{a1(q4-q2)=72} \atop {a1(q3-q1)=36}} \right.$
$\left \{ {{a1(q2(q2-1))=72} \atop {a1(q(q2-1))=36}} \right.$
$\left \{ {{a1q2=72} \atop {a1q=36}} \right.$
в системе можно умножать делить складывать и вычитать:
$\frac{a1q2}{a1q} = \frac{72}{36}$
q=2
----------
подставляем в любое выражение из системы:
a1*4=72
a1=18
-----------
$S5= \frac{a1(q5-1) }{(q-1)}$
S5=18*31=558
Ответ: a1=18, q=2, S5=558

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии будет $a$, а знаменатель будет $q$. Таким образом, общий вид членов прогрессии будет:

1-й член: $a$ 2-й член: $aq$ 3-й член: $aq^2$ 4-й член: $aq^3$ 5-й член: $aq^4$

Известно, что разность между 5-м и 3-м членами равна 72:

$aq^4 - aq^2 = 72$

Также разность между 4-м и 2-м членами равна 36:

$aq^3 - aq = 36$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно $a$ и $q$.

1. Уравнение: $aq^4 - aq^2 = 72$
2. Уравнение: $aq^3 - aq = 36$

Разделим второе уравнение на $aq$:

$q^2 - 1 = 36$

Отсюда:

$q^2 = 37$ $q = \sqrt{37}$

Подставим $q$ обратно во второе уравнение:

$a(\sqrt{37})^3 - a\sqrt{37} = 36$

$37a\sqrt{37} - a\sqrt{37} = 36$

$a(37\sqrt{37} - \sqrt{37}) = 36$

$a(36\sqrt{37}) = 36$

$a = \frac{36}{36\sqrt{37}}$

$a = \frac{1}{\sqrt{37}}$

Теперь мы знаем первый член $a$ и знаменатель $q$. Мы можем использовать их для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии:

Сумма первых 5 членов геометрической прогрессии $S_5$ выражается как:

$S_5 = a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4$

Подставим значения $a$ и $q$:

$S_5 = \frac{1}{\sqrt{37}} + \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}} + \frac{37}{\sqrt{37}} + \frac{37\sqrt{37}}{\sqrt{37}} + \frac{37^2}{\sqrt{37}}$

$S_5 = \frac{1 + \sqrt{37} + 37 + 37\sqrt{37} + 37^2}{\sqrt{37}}$