Question

Найдите наименьшее значение выражения (2х+5у+7)^2+(3x-y-15)^2 и значения х и у, при которых оно достигается

Answer 1

Вариант 1:
$> Нужно просто решить систему уравнений. Да, я использовал производную (дифференцирование), но по другому не вижу более простого пути. Если смогу без этого решить, напишу в ЛС.  <img src=$
Вставляем: (2*4+5*(-3)+7)^2+(3*4+3-15)^2 = 0, сомнений нет что два квадрата меньше нуля в сумме не дадут.
Вариант 2:
Метод "проб".
|2x+5y+7|<3
-3<2x+5y+7<3
-10<2x+5y<-4
|3x-y-15|<3
... Много неравенств ...
... Проверить кучу значений ...
... Это муторно ...
Вариант 3: Вдумчиво поискать простой способ.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение:

$E = (2x + 5y + 7)^2 + (3x - y - 15)^2$.

Чтобы найти наименьшее значение $E$, мы должны найти значения $x$ и $y$, при которых производные по $x$ и $y$ обоих слагаемых равны нулю (потому что минимум/максимум достигается в точке, где производные обращаются в ноль).

Производная по $x$ первого слагаемого: $\frac{d}{dx} ((2x + 5y + 7)^2) = 2(2x + 5y + 7) \cdot 2 = 4(2x + 5y + 7)$.

Производная по $x$ второго слагаемого: $\frac{d}{dx} ((3x - y - 15)^2) = 2(3x - y - 15) \cdot 3 = 6(3x - y - 15)$.

Производная по $y$ первого слагаемого: $\frac{d}{dy} ((2x + 5y + 7)^2) = 2(2x + 5y + 7) \cdot 5 = 10(2x + 5y + 7)$.

Производная по $y$ второго слагаемого: $\frac{d}{dy} ((3x - y - 15)^2) = 2(3x - y - 15) \cdot -1 = -2(3x - y - 15)$.

Теперь приравняем производные к нулю:

$$\begin{align*} 4(2x + 5y + 7) &= 0, \\ 6(3x - y - 15) &= 0, \\ 10(2x + 5y + 7) &= 0, \\ -2(3x - y - 15) &= 0. \end{align*}$$

Первые два уравнения дают нам систему:

$$\begin{align*} 2x + 5y &= -7, \\ 3x - y &= 15. \end{align*}$$

Решая эту систему, мы находим $x = 4$ и $y = 3$.

Подставляя значения $x$ и $y$ обратно в выражение $E$:

$$E = (2x + 5y + 7)^2 + (3x - y - 15)^2 = (2 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + 7)^2 + (3 \cdot 4 - 3 - 15)^2 = 97.$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $E$ равно 97, и оно достигается при $x = 4$ и $y = 3$.