Question

Найти производную функции Z=ln(8x²+2y)

Answer 1

$\large \\ z=\ln{(8x^2+2y)}\\ \frac{\partial z}{\partial x}={1\over8x^2+2y}\cdot(16x)={8x\over4x^2+y}\\\\ \frac{\partial z}{\partial y}={1\over8x^2+2y}\cdot2={1\over4x^2+y}\\\\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}={8(4x^2+y)-8x\cdot8x\over(4x^2+y)^2}={8y-32x^2\over(4x^2+y)^2 }\\\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}={0-1\over(4x^2+y)^2}=-{1\over(4x^2+y)^2}\\\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}={0-8x\over(4x^2+y)^2}=-{8x\over(4x^2+y)^2}\\\\ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}={0-8x\over(4x^2+y)^2}=-{8x\over(4x^2+y)^2}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции Z по переменным x и y, используем правило дифференцирования для логарифмической функции и композиционного правила:

Правило дифференцирования логарифма: d/dx ln(u) = (1/u) * du/dx

где u - функция от x.

Теперь продифференцируем функцию Z=ln(8x²+2y) по x:

dZ/dx = d/dx ln(8x²+2y)

Для этого нужно рассмотреть внутреннюю функцию u = 8x² + 2y:

du/dx = d/dx (8x² + 2y) du/dx = 16x

Теперь можем записать производную Z по x:

dZ/dx = (1/u) * du/dx dZ/dx = (1/(8x²+2y)) * 16x dZ/dx = 16x / (8x²+2y)

Теперь продифференцируем функцию Z=ln(8x²+2y) по y:

dZ/dy = d/dy ln(8x²+2y)

Так как внутренняя функция u = 8x² + 2y не содержит переменной y, то производная по y будет равна нулю:

dZ/dy = 0

Итак, производные функции Z=ln(8x²+2y) по переменным x и y:

dZ/dx = 16x / (8x²+2y) dZ/dy = 0