Question

Дано 100-значное число, все цифры которого отличные от 0. Его цифры разбили на пары соседних и в каждой паре цифры поменяли местами. Могло ли число после такой операции увеличиться ровно в 5 раз?

Answer 1

Нет, не могло. Потому что если разбить на пары соседних то увеличится ровно в 2 раза

Answer 2

Да, число после такой операции может увеличиться ровно в 5 раз.

Для простоты, рассмотрим однозначное число. Пусть у нас есть число "ab", где "a" и "b" - различные ненулевые цифры. После перестановки цифр местами получим число "ba". Теперь, если "ba" равно "ab" умноженному на 5, то "b" должно быть равно "a * 5".

Пример: Пусть у нас есть число 42. После перестановки цифр местами получим число 24. Если 24 равно 42 умноженному на 5, то это верно, так как 42 * 5 = 210, и 24 = 210.

Это обобщается на числа с большим количеством цифр. Пусть у нас есть число "a1a2a3...an", где каждая "ai" - ненулевая цифра. После перестановки цифр местами получим число "a2a1a4a3a6a5...an-1an". Если "a2a1a4a3a6a5...an-1an" равно "a1a2a3...an" умноженному на 5, то "a2" должно быть равно "a1 * 5", "a4" должно быть равно "a3 * 5" и так далее.

Таким образом, если исходное число состоит из ненулевых цифр и может быть умножено на 5 после описанной операции перестановки цифр, то это возможно.