Question

Дано 100-значное число, все цифры которого отличные от 0. Его цифры разбили на пары соседних и в каждой паре цифры поменяли местами. Могло ли число после такой операции увеличиться ровно в 5 раз? Как решить?

Answer 1

Заметим, что если первая цифра числа A больше 1, то кол-во цифр в числе 5А больше. Значит первая цифра равна 1.

Пусть $A=\overline{1a...}=>5A=\overline{a1...}=>\overline{a1}=5*\overline{1a}+b, b\in N_0=>10a+1=50+5a+b=>5a=49+b;\:\:5a\leq 5*9=45=>b$ - противоречие. А значит число не могло увеличиться в 5 раз.

Ответ: нет

Answer 2

Да, число после такой операции может увеличиться ровно в 5 раз.

Давайте рассмотрим, как число может измениться после операции. Если число состоит из 100 цифр, мы можем обозначить его как abcdef...yz, где каждая буква обозначает одну из цифр.

После операции каждая пара соседних цифр меняется местами. Таким образом, число превращается в badcfe...zyx. Заметим, что каждая цифра исходного числа по-прежнему присутствует в полученном числе.

Теперь давайте рассмотрим, как число может увеличиться в 5 раз. Если исходное число равно N, то полученное число равно 5N. Учитывая предыдущее преобразование, мы можем записать это как:

10^99 * b + 10^98 * a + 10^97 * d + 10^96 * c + ... + 10^1 * y + 10^0 * z = 5 * (10^99 * a + 10^98 * b + 10^97 * c + 10^96 * d + ... + 10^1 * z + 10^0 * y)

Обратите внимание, что это уравнение верно для всех цифр от a до z.

Поскольку уравнение верно для всех цифр, мы можем разделить его на 10^99 для получения следующего уравнения:

b/10 + a/10^2 + d/10^3 + c/10^4 + ... + y/10^98 + z/10^99 = 5 * (a/10^99 + b/10^98 + c/10^97 + d/10^96 + ... + z/10 + y)

Обратите внимание, что левая сторона равенства - это сумма десятичных дробей, а правая сторона - это целое число. Поскольку все цифры отличаются от нуля, левая сторона не может быть целым числом. Это противоречие показывает, что число после операции не может увеличиться ровно в 5 раз.

Таким образом, число после такой операции не может увеличиться ровно в 5 раз.