Question

Компьютер тайно от оператора формирует четырехзначный кодовый номер кредитной карточки для клиента банка, используя датчик случайных чисел. Какова вероятность, что оператор угадает код карточки, если он знает, что а) цифры в коде не повторяются; б) код не содержит цифр 0 и 1?

Answer 1

Мудрец (18656)всего исходов 8*7*6*5=1680
из них благоприятный один
вероятность равна 1/1680

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим оба варианта:

а) Код состоит из четырех различных цифр (цифры не повторяются). Количество способов выбрать 4 различные цифры из 10 (0-9) равно "10 выбрать 4" и обозначается как C(10, 4) или 10C4 или ${10 \choose 4}$ и вычисляется следующим образом:

${10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$

Таким образом, есть 210 возможных четырехзначных кодовых номеров.

Вероятность того, что оператор угадает код карточки, равна 1 к 210, так как у него только одна попытка угадать правильный код.

Вероятность = $\frac{1}{210} \approx 0.0048$ или около 0.48%.

б) Код не содержит цифр 0 и 1. В этом случае, у нас будет 8 возможных цифр (2-9), и количество способов выбрать 4 различные цифры из 8 равно "8 выбрать 4" и обозначается как C(8, 4) или 8C4 или ${8 \choose 4}$ и вычисляется следующим образом:

${8 \choose 4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Таким образом, есть 70 возможных четырехзначных кодовых номеров, которые не содержат цифры 0 и 1.

Вероятность того, что оператор угадает код карточки в этом случае, также равна 1 к 70.

Вероятность = $\frac{1}{70} \approx 0.0143$ или около 1.43%.

В обоих случаях, вероятность угадать код карточки достаточно низкая, что делает такой подход надежным для формирования кода кредитной карточки.