Question

Интеграл sin^5x/cos^2x

Answer 1

$\int\frac{sin^5x}{cos^2x}dx=\int\frac{sinx(1-cos^2x)^2}{cos^2x}=-\int\frac{1-2cos^2+cos^4x}{cos^2x}d(cosx)=\\=-\int(cos^2x-2+\frac{1}{cos^2x})d(cosx)=-\frac{cos^3x}{3}+2cosx+\frac{1}{cosx}+C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте выполним следующую замену:

Пусть t = cos(x), тогда dt = -sin(x) dx.

Теперь мы можем выразить sin(x) через t: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - t^2).

Интеграл принимает вид:

∫(sin^5(x) / cos^2(x)) dx = ∫(sin^4(x) * sin(x) / cos^2(x)) dx = ∫(sin^4(x) * (sqrt(1 - t^2)) / t^2) * (-dt) = - ∫(sin^4(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt.

Теперь, нам нужно решить этот новый интеграл: ∫(sin^4(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt.

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться методом частей (интегрирование по частям) с u = sin^4(x) и dv = sqrt(1 - t^2) / t^2 dt.

Вычислим du и v:

du = d(sin^4(x)) = 4 * sin^3(x) * cos(x) dx, dv = sqrt(1 - t^2) / t^2 dt.

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫(sin^4(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt = -sin^4(x) * sqrt(1 - t^2) + ∫(4 * sin^3(x) * cos(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt.

Оставшуюся интеграл можно разбить на два интеграла, которые можно решить отдельно.

1. ∫(sin^3(x) * cos(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt:

Здесь мы можем снова воспользоваться методом частей, выбрав u = sin^3(x) и dv = cos(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2 dt.

Вычислим du и v:

du = d(sin^3(x)) = 3 * sin^2(x) * cos(x) dx, dv = cos(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2 dt.

Применим формулу интегрирования по частям:

∫(sin^3(x) * cos(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt = -sin^3(x) * sqrt(1 - t^2) + 3 * ∫(sin^2(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt.

2. ∫(sin^2(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt:

Этот интеграл можно решить методом замены переменной. Пусть s = sin(x), тогда ds = cos(x) dx.

Интеграл примет вид:

∫(sin^2(x) * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt = ∫(s^2 * sqrt(1 - t^2) / t^2) dt = ∫(s^2 * sqrt(1 - t^2) / (1 - s^2)) dt = ∫sqrt(1 - t^2) dt = arcsin(t) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу и подставить значения полученных интегралов:

∫(sin^5(x) / cos^2(x)) dx = -sin^4(x) * sqrt(1 - t^2) + 3 * (-sin^3(x) * sqrt(1 - t^2) + 3 * (arcsin(t))) + C.

После этого выражение можно упростить, используя t = cos(x):

∫(sin^5(x) / cos^2(x)) dx = -sin^4(x) * sqrt(1 - cos^2(x)) + 3 * (-sin^3(x) * sqrt(1 - cos^2(x))) + 3 * arcsin(cos(x)) + C.

Это окончательный ответ на интеграл ∫(sin^5(x) / cos^2(x)) dx.