Question

Сколько существует различных наборов {a,b,c,d} из четырёх натуральных чисел таких, что a>b>c>d, a+b+c+d=20, a2−b2+c2−d2=20? Все указанные условия должны выполняться одновременно.

Answer 1

Заметим, что a ≥ 7 (в противном случае сумма a + b + c + d была бы не больше, чем 6 + 5 + 4 + 3 = 18). Кроме того, поскольку c + d ≥ 1 + 2 = 3, то a + b ≤ 20 - 3 = 17.

Предположим, a - b ≥ 2. Тогда 
$20=a^2-b^2+c^2-d^2\ \textgreater \ a^2-(a-2)^2=4a-4\geqslant 4\cdot7-4=24$
Получилось неверное неравенство 20 > 24, поэтому предположение неверно, тогда a = b + 1, b ≥ 6. Значит, a + b = 2b + 1 ≤ 17, откуда b ≤ 8.

1) b = 6, a = 7. Подставляем в равенства:
c + d = 7
c^2 - d^2 = 7

Раскладываем левую часть второго уравнения на множители и подставляем значение суммы:
c + d = 7
(c - d)(c + d) = 7(c - d) = 7

c + d = 7
c - d = 1

Складываем и вычитаем уравнения:
2с = 8
2d = 6

c = 4
d = 3

(a, b, c, d) = (7, 6, 4, 3)

2) b = 7, a = 8. Аналогично:
c + d = 5
c^2 - d^2 = 5

c + d = 5
c - d = 1

(a, b, c, d) = (8, 7, 3, 2)

3) b = 8, a = 9
c + d = 3
c^2 - d^2 = 3

c + d = 3
c - d = 1

(a, b, c, d) = (9, 8, 2, 1)

Ответ: 3 набора.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

У нас есть четыре натуральных числа: a, b, c и d. Мы ищем наборы таких чисел, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. a > b > c > d (в порядке убывания)
2. a + b + c + d = 20
3. a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 20

Давайте рассмотрим возможные значения d и соответствующие значения a, b и c.

Поскольку a > b > c > d и a + b + c + d = 20, то максимальное значение d равно 4 (1 + 2 + 3 + 4 = 10). Минимальное значение a равно 5 (так как a > b > c > d, и все числа являются натуральными).

Теперь переберем значения d от 1 до 4 и найдем соответствующие значения a, b и c, удовлетворяющие условиям:

1. d = 1: a + b + c + 1 = 20 a > b > c > 1 Оставшиеся значения a, b и c могут быть (8, 7, 4) или (9, 6, 4). Оба набора удовлетворяют условиям.

2. d = 2: a + b + c + 2 = 20 a > b > c > 2 Оставшиеся значения a, b и c могут быть (9, 7, 2) или (10, 6, 2). Оба набора также удовлетворяют условиям.

3. d = 3: a + b + c + 3 = 20 a > b > c > 3 Оставшиеся значения a, b и c могут быть (9, 6, 2). Этот набор удовлетворяет условиям.

4. d = 4: a + b + c + 4 = 20 a > b > c > 4 Оставшиеся значения a, b и c могут быть (9, 5, 2). Этот набор также удовлетворяет условиям.

Итак, мы получили следующие наборы: (8, 7, 4, 1) (9, 6, 4, 1) (9, 7, 2, 2) (10, 6, 2, 2) (9, 6, 2, 3) (9, 5, 2, 4)

Таким образом, существует 6 различных наборов {a, b, c, d}, удовлетворяющих всем условиям.