Question

Найти косинус угла между диагоналями паралограма построенного на векторах a = 4m + 2n и b = 4m + n, если | m | = | n | = 1 <mиn = 60 °

Answer 1

Пусть диагонали параллелограмма -- это векторы c и d.
Пользуясь правилом треугольника, выразим диагонали через векторы a и b:
c = a + b = (4m + 2n) + (4m + n) = 8m + 3n
d = a - b = (4m + 2n) = (4m + n) = n

Скалярное произведение c*d = (8m + 3n)*n = 8mn + 3nn
nn = |n| * |n| * cos0° = 1 * 1 * 1 = 1
3nn = 3
mn = |m| * |n| * cos60° = 1 * 1 * 1/2 = 1/2
8mn = 4

c*d = 8mn + 3nn = 3 + 4 = 7
Таким образом |c| * |d| * cos(c^d) = 7

Чтобы найти косинус между c и d из формулы скалярного произведения нужно найти |c| и |d|:
$|c| = \sqrt{c^2} = \sqrt{(8m + 3n)^2}= \sqrt{64mm+48mn+9nn}= \\ \\ \sqrt{64+24+9} = \sqrt{97} \\ \\ |d|= \sqrt{d^2}= \sqrt{n^2} = \sqrt{1} =1$

То есть c*d = |c| * |d| * cos(c^d) = √97 * cos(c^d) = 7

cos(c^d) = $\frac{7}{ \sqrt{97} }$

(с^d) = arccos $\frac{7}{ \sqrt{97} }$

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a и b, можно использовать свойство скалярного произведения векторов и знание, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Для начала, найдем векторы диагоналей параллелограмма. Пусть c и d - это векторы диагоналей. Тогда:

c = (a + b) / 2 d = (a - b) / 2

Теперь найдем значение векторов a и b:

a = 4m + 2n b = 4m + n

Выполним вычисления:

a + b = (4m + 2n) + (4m + n) = 8m + 3n a - b = (4m + 2n) - (4m + n) = 4m + n

Теперь найдем длины векторов c и d:

|c| = |(a + b) / 2| = |(8m + 3n) / 2| = |4m + (3/2)n| = √((4m)^2 + ((3/2)n)^2) = √(16m^2 + (9/4)n^2) = √(16 + (9/4)) = √(25/4) = 5/2

|d| = |(a - b) / 2| = |(4m + n) / 2| = |2m + (1/2)n| = √((2m)^2 + ((1/2)n)^2) = √(4m^2 + (1/4)n^2) = √(4 + (1/4)) = √(17/4) = √17/2

Теперь найдем косинус угла между векторами c и d, используя скалярное произведение:

cos(θ) = (c · d) / (|c| * |d|)

где θ - угол между векторами c и d.

Найдем скалярное произведение c · d:

c · d = (4m + (3/2)n) · (2m + (1/2)n) = 8m^2 + (7/2)mn + (3/4)n^2

Теперь можем вычислить косинус угла:

cos(θ) = (8m^2 + (7/2)mn + (3/4)n^2) / ((5/2) * (√17/2)) = (8m^2 + (7/2)mn + (3/4)n^2) / (5 * √17)

Поскольку известно, что угол между m и n составляет 60°, то cos(60°) = 1/2.

Таким образом, окончательный ответ:

cos(θ) = (8m^2 + (7/2)mn + (3/4)n^2) / (5 * √17) = (8 * 1^2 + (7/2) * 1 * 1 + (3/4) * 1^2) / (5 * √17) = (8 + 7/2 + 3/4) / (5 * √17) = (16/2 + 7/2 + 3/4) / (5 * √17) = (26/4) / (5 * √17) = 26 / (4 * 5 * √17) = 26 / (20 * √17) = 13 / (10 * √17) = (13√17) / 170 ≈ 0.383.

Таким образом, косинус угла между диагоналями параллелограмма составляет примерно 0.383.