Question

Объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен 3. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах −a + b + c, a − b + c, a + b − c.

Answer 1

Ответ:

.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Объем параллелепипеда, построенного на векторах \(\mathbf{a}, \mathbf{b},\) и \(\mathbf{c},\) вычисляется как модуль смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение векторов \(\mathbf{a}, \mathbf{b},\) и \(\mathbf{c}\) обозначается символом \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\), где \(\times\) обозначает векторное произведение.

Формула объема параллелепипеда по векторам \(\mathbf{a}, \mathbf{b},\) и \(\mathbf{c}\) имеет вид:

\[V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|\]

Теперь, если у нас есть новые векторы \(-\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c},\) и \(\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c},\) то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, можно выразить аналогичным образом:

\[V' = |(-\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot ((\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) \times (\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}))|\]

Теперь мы можем раскрыть скобки внутри смешанного произведения и упростить выражение. Однако, стоит отметить, что некоторые члены выразятся как скалярные произведения векторов, а другие как векторные произведения.

Давайте раскроем скобки:

\[V' = |(-\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}) \cdot ((\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) \times (\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}))|\]

\[= |-\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) + \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) + \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c})|\]

\[= |-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) + (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) + (\mathbf{c} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{c} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{c})|\]

Теперь мы можем сгруппировать подобные члены и упростить:

\[= |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a}|\]

Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на векторах \(-\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}, \mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c},\) и \(\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c},\) равен \(|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot \mathbf{a}|\).