Question

Найти производную (tgx-e^x) /sqrt xпомогите пожалуйста!!

Answer 1

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2 

y'= ( (1/cos²x -e^x)*√x - (tgx-e^x)*1/2√x ) / x

Answer 2

Давайте найдем производную функции (tgx - e^x) / sqrt(x) по переменной x.

Для удобства, представим данную функцию в следующем виде:

f(x) = (tgx - e^x) / sqrt(x)

Первым шагом разложим функцию tg(x) и найдем производную:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь, заменим tg(x) в исходной функции:

f(x) = (sin(x) / cos(x) - e^x) / sqrt(x)

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на sqrt(x):

f(x) = (sin(x) - e^x * sqrt(x)) / (cos(x) * sqrt(x))

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

Числитель (g(x)):

g(x) = sin(x) - e^x * sqrt(x)

Производная числителя:

g'(x) = d/dx(sin(x)) - d/dx(e^x * sqrt(x)) g'(x) = cos(x) - d/dx(e^x) * sqrt(x) - e^x * d/dx(sqrt(x))

Производная e^x:

d/dx(e^x) = e^x

Производная sqrt(x):

d/dx(sqrt(x)) = (1/2) * x^(-1/2)

Подставим значения производных обратно:

g'(x) = cos(x) - e^x * (1/2) * x^(-1/2) - e^x * (1/2) * x^(-1/2)

Знаменатель (h(x)):

h(x) = cos(x) * sqrt(x)

Производная знаменателя:

h'(x) = d/dx(cos(x)) * sqrt(x) + cos(x) * d/dx(sqrt(x)) h'(x) = -sin(x) * sqrt(x) + cos(x) * (1/2) * x^(-1/2)

Теперь найдем производную f(x) по правилу дифференцирования дроби:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Подставим значения производных:

f'(x) = (cos(x) - e^x * (1/2) * x^(-1/2) - e^x * (1/2) * x^(-1/2)) * (cos(x) * sqrt(x)) - (sin(x) - e^x * sqrt(x)) * (-sin(x) * sqrt(x) + cos(x) * (1/2) * x^(-1/2))) / (cos(x) * sqrt(x))^2

Теперь можно упростить выражение, приведя его к более компактному виду:

f'(x) = (cos^2(x) * sqrt(x) - (1/2) * x^(-1/2) * cos(x) * e^x + (1/2) * x^(-1/2) * e^x * sin(x) + (1/2) * x^(-1/2) * e^x * cos(x) + sin^2(x) * sqrt(x) - (1/2) * x^(-1/2) * e^x * cos(x)) / (cos(x) * sqrt(x))^2

f'(x) = (cos^2(x) * sqrt(x) + sin^2(x) * sqrt(x)) / (cos(x) * sqrt(x))^2

Теперь сократим числитель:

f'(x) = (cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)

Так как cos^2(x) + sin^2(x) = 1, то:

f'(x) = 1 / cos^2(x)

И, используя тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1 / (1 + tg^2(x)), получим:

f'(x) = 1 / (1 + tg^2(x))

Таким образом, производная функции (tgx - e^x) / sqrt(x) равна 1 / (1 + tg^2(x)).