Question

Найдите значение частной производной dz/dx функции z =2^(x^2+y^3)в точке M(2;–1)

Answer 1

$z=2^{x^2+y^3}\\\\z'_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=2^{x^2+y^3}\cdot (x^2+y^3)'_{x}=2^{x^2+y^3}\cdot 2x =x\cdot 2^{x^2+y^3+1}$

$z'_{x}(2;-1)=2\cdot 2^{4-1+1}=2\cdot 2^4=2^5=32$

Answer 2

Чтобы найти значение частной производной dz/dx функции z = 2^(x^2 + y^3) в точке M(2; –1), нужно сначала вычислить частную производную этой функции по переменной x и затем подставить значения x = 2 и y = –1.

Для начала, найдем частную производную dz/dx. Для этого возьмем производную функции z по x, считая y как константу. При этом используем свойство производной сложной функции:

(d/dx) 2^(x^2 + y^3) = (d/dx) (u^v) = vu^(v-1)(du/dx) + ln(u)u^v(dv/dx)

где u = 2, v = x^2 + y^3.

Теперь найдем частные производные по x и y функции v = x^2 + y^3:

(dv/dx) = d/dx (x^2 + y^3) = 2x (dv/dy) = d/dy (x^2 + y^3) = 3y^2

Теперь подставим значения x = 2, y = –1 и u = 2, v = 2^2 + (-1)^3 = 4 – 1 = 3:

(du/dx) = 0 (потому что производная константы равна нулю) (du/dy) = 0 (потому что производная константы равна нулю) (dv/dx) = 2 * 2 = 4 (dv/dy) = 3 * (-1)^2 = 3

Теперь найдем частную производную dz/dx:

(dz/dx) = 3 * 2^(3-1) * 4 + ln(2) * 2^3 * 0 = 3 * 4 * 2 + 0 = 24

Таким образом, значение частной производной dz/dx функции z = 2^(x^2 + y^3) в точке M(2; –1) равно 24.